Решение задач: упрощение выражения и решение уравнения

Ниже представлено краткое решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{1}{a^2-b^2} + \frac{b}{a^3+b^3} \right) \div \frac{a^2}{a^6-b^6} \] 1) Приведем к общему знаменателю в скобках: \[ \frac{a^2-ab+b^2 + b(a-b)}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a^2-ab+b^2+ab-b^2}{(a^2-b^2)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a^2}{(a^2-b^2)(a^2-ab+b^2)} \] 2) Умножим на обратную дробь, разложив \( a^6-b^6 \) как разность квадратов: \[ \frac{a^2}{(a^2-b^2)(a^2-ab+b^2)} \cdot \frac{(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)}{a^2} = \frac{a^4+a^2b^2+b^4}{a^2-ab+b^2} \] Ответ: \( a^2+ab+b^2 \) Задание 2. Решить уравнение: \[ 2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0 \] Вынесем \( 2^{x-1} \) за скобки: \[ 2^{x-1} (2^2 + 3 - 5 \cdot 2^1) + 6 = 0 \] \[ 2^{x-1} (4 + 3 - 10) = -6 \] \[ 2^{x-1} \cdot (-3) = -6 \] \[ 2^{x-1} = 2 \] \[ x-1 = 1 \Rightarrow x = 2 \] Ответ: 2 Задание 3. Вычислить: \[ \log_5 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_5 12 + \log_5 50 = \log_5 \frac{\sqrt{3} \cdot 50}{\sqrt{12}} = \log_5 \frac{\sqrt{3} \cdot 50}{2\sqrt{3}} = \log_5 25 = 2 \] Ответ: 2 Задание 4. Вычислить: \[ 36^{\log_6 5} + 10^{1-\log_{10} 2} - 8^{\log_2 3} = (6^2)^{\log_6 5} + \frac{10}{10^{\log_{10} 2}} - (2^3)^{\log_2 3} \] \[ = 5^2 + \frac{10}{2} - 3^3 = 25 + 5 - 27 = 3 \] Ответ: 3 Задание 5. Решить уравнение: \[ \log_3^2 x - 15 \log_{27} x + 6 = 0 \] Так как \( \log_{27} x = \frac{1}{3} \log_3 x \): \[ \log_3^2 x - 5 \log_3 x + 6 = 0 \] Пусть \( \log_3 x = t \), тогда \( t^2 - 5t + 6 = 0 \). Корни \( t_1 = 2, t_2 = 3 \). 1) \( \log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9 \) 2) \( \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 27 \) Ответ: 9; 27 Задание 6. Решить уравнение: \[ \sqrt{5x-1} = \sqrt{3x-2} - \sqrt{2x-3} \] Возведем в квадрат (учитывая ОДЗ \( x \ge 1.5 \)): \[ 5x-1 = 3x-2 + 2x-3 - 2\sqrt{(3x-2)(2x-3)} \] \[ 5x-1 = 5x-5 - 2\sqrt{6x^2-13x+6} \] \[ 4 = -2\sqrt{6x^2-13x+6} \] Уравнение не имеет решений, так как корень не может быть отрицательным. Ответ: корней нет Задание 7. Упростить: \[ \frac{6}{4x^2-1} - \frac{2}{2x-1} + \frac{3}{2x+1} = \frac{6 - 2(2x+1) + 3(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{6-4x-2+6x-3}{4x^2-1} = \frac{2x+1}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{1}{2x-1} \] Ответ: \( \frac{1}{2x-1} \) Задание 8. Перевести из градусов в радианы: Формула: \( \alpha_{rad} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ} \) 1) \( 14^\circ = \frac{14\pi}{180} = \frac{7\pi}{90} \) 2) \( 70^\circ = \frac{70\pi}{180} = \frac{7\pi}{18} \) 3) \( 16^\circ = \frac{16\pi}{180} = \frac{4\pi}{45} \) 4) \( 114^\circ = \frac{114\pi}{180} = \frac{19\pi}{30} \) Задание 9. Из радиан в градусы: Формула: \( \alpha^\circ = \frac{\alpha_{rad} \cdot 180^\circ}{\pi} \) 1) \( \frac{4\pi}{15} = \frac{4 \cdot 180}{15} = 48^\circ \) 2) \( \frac{5\pi}{9} = \frac{5 \cdot 180}{9} = 100^\circ \) 3) \( \frac{2\pi}{9} = \frac{2 \cdot 180}{9} = 40^\circ \) 4) \( \frac{13\pi}{18} = \frac{13 \cdot 180}{18} = 130^\circ \)