Решение: Реши задачу: Решить методом интервалов

Решение неравенства методом интервалов: \[ (x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \geqslant 0 \] 1. Найдем корни уравнения, приравняв левую часть к нулю: \[ (x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 = 0 \] Отсюда получаем корни: \[ x_1 = -3 \] \[ x_2 = 1 \] \[ x_3 = -6 \] (корень четной кратности, так как скобка в квадрате) 2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\( \geqslant \)), все точки будут закрашенными. 3. Определим знаки на интервалах. Для удобства можно переписать множитель \( (1 - x) \) как \( -(x - 1) \), тогда неравенство примет вид: \[ -(x + 3)(x - 1)(x + 6)^2 \geqslant 0 \] Или, умножив на \(-1\) и сменив знак неравенства: \[ (x + 3)(x - 1)(x + 6)^2 \leqslant 0 \] 4. Расставим знаки на интервалах: - При \( x > 1 \) выражение положительно. - При переходе через \( x = 1 \) знак меняется на "минус". - При переходе через \( x = -3 \) знак меняется на "плюс". - При переходе через \( x = -6 \) знак НЕ меняется, так как это корень четной кратности (квадрат), остается "плюс". С учетом исходного неравенства \( (x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \geqslant 0 \): - На интервале \( (-\infty; -6] \) знак \( (+) \) - На интервале \( [-6; -3] \) знак \( (+) \) - На интервале \( [-3; 1] \) знак \( (+) \) - На интервале \( [1; +\infty) \) знак \( (-) \) Проверим знак в любой точке, например \( x = 0 \): \[ (0 + 3)(1 - 0)(0 + 6)^2 = 3 \cdot 1 \cdot 36 = 108 > 0 \] Значит, на интервале, содержащем 0, знак "плюс". 5. Нам подходят интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервалов от \( -\infty \) до \( 1 \). Ответ: \[ x \in (-\infty; 1] \]