Решение задачи методом интервалов

Для того чтобы правильно расставить знаки на координатной прямой, рассмотрим поведение функции \( f(x) = (x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \). 1. Нанесем корни на числовую прямую: \( -6 \), \( -3 \) и \( 1 \). Все точки закрашены. 2. Определим знак на крайнем правом интервале \( (1; +\infty) \). Возьмем \( x = 2 \): \[ (2 + 3)(1 - 2)(2 + 6)^2 = 5 \cdot (-1) \cdot 64 = -320 \] Знак на интервале \( (1; +\infty) \) — минус. 3. При переходе через корень \( x = 1 \) (первая степень) знак меняется на плюс. 4. При переходе через корень \( x = -3 \) (первая степень) знак меняется на минус. 5. При переходе через корень \( x = -6 \) (вторая степень, четная кратность) знак **не меняется** и остается минусом. Схематическое изображение знаков на прямой: \[ \text{---} \quad (-6) \quad \text{---} \quad (-3) \quad + \quad (1) \quad \text{---} \] Пошаговое распределение по интервалам: 1. Интервал \( (-\infty; -6] \): знак \( - \) 2. Интервал \( [-6; -3] \): знак \( - \) 3. Интервал \( [-3; 1] \): знак \( + \) 4. Интервал \( [1; +\infty) \): знак \( - \) Так как в условии требуется найти значения \( \geqslant 0 \), нам подходит интервал, где стоит плюс, а также сами точки, где выражение равно нулю. Решение: \[ x \in [-3; 1] \cup \{ -6 \} \] (Важное примечание: точка \( -6 \) является изолированным решением, так как в ней выражение равно 0, что удовлетворяет условию \( \geqslant 0 \)).