Решение задачи методом Лагранжа

Для решения задачи методом интерполяционного многочлена Лагранжа по заданным точкам из таблицы, запишем общую формулу. Дано: \(x_0 = -1, y_0 = 4\) \(x_1 = 0, y_1 = 2\) \(x_2 = 1, y_2 = 0\) \(x_3 = 2, y_3 = 1\) Формула многочлена Лагранжа имеет вид: \[L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot l_i(x)\] где \[l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\] Вычислим базисные многочлены \(l_i(x)\): 1) Для \(i = 0\): \[l_0(x) = \frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{(-1 - 0)(-1 - 1)(-1 - 2)} = \frac{x(x - 1)(x - 2)}{-1 \cdot (-2) \cdot (-3)} = -\frac{x(x - 1)(x - 2)}{6}\] 2) Для \(i = 1\): \[l_1(x) = \frac{(x - (-1))(x - 1)(x - 2)}{(0 - (-1))(0 - 1)(0 - 2)} = \frac{(x + 1)(x - 1)(x - 2)}{1 \cdot (-1) \cdot (-2)} = \frac{(x + 1)(x - 1)(x - 2)}{2}\] 3) Для \(i = 2\): Так как \(y_2 = 0\), слагаемое \(y_2 \cdot l_2(x)\) будет равно нулю, поэтому вычислять \(l_2(x)\) не обязательно. 4) Для \(i = 3\): \[l_3(x) = \frac{(x - (-1))(x - 0)(x - 1)}{(2 - (-1))(2 - 0)(2 - 1)} = \frac{(x + 1)x(x - 1)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{x(x + 1)(x - 1)}{6}\] Теперь составим итоговый многочлен \(L(x)\): \[L(x) = 4 \cdot \left( -\frac{x(x - 1)(x - 2)}{6} \right) + 2 \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)(x - 2)}{2} + 0 + 1 \cdot \frac{x(x + 1)(x - 1)}{6}\] Упростим выражение: \[L(x) = -\frac{2}{3}x(x - 1)(x - 2) + (x + 1)(x - 1)(x - 2) + \frac{1}{6}x(x^2 - 1)\] Раскроем скобки для приведения к стандартному виду: \[(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2\] \[L(x) = -\frac{2}{3}(x^3 - 3x^2 + 2x) + (x^3 - 3x^2 + 2x + x^2 - 3x + 2) + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{6}x\] \[L(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{4}{3}x + x^3 - 2x^2 - x + 2 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{6}x\] Сгруппируем слагаемые: \[L(x) = x^3 \left( -\frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{6} \right) + x^2(2 - 2) + x \left( -\frac{4}{3} - 1 - \frac{1}{6} \right) + 2\] \[L(x) = x^3 \left( \frac{-4 + 6 + 1}{6} \right) + 0 \cdot x^2 + x \left( \frac{-8 - 6 - 1}{6} \right) + 2\] \[L(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x + 2\] Ответ: \(L(x) = 0,5x^3 - 2,5x + 2\)