Решение неравенства x²-3x+2 ≥ 0 с объяснением

Ниже представлено подробное решение задач со школьной доски (Вариант II). Задание 1. Решить неравенство: \[ x^2 - 3x + 2 \geq 0 \] Решение: 1. Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 3 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 2 \] Отсюда корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \). 2. Разложим левую часть на множители: \[ (x - 1)(x - 2) \geq 0 \] 3. Используем метод интервалов. Отметим точки 1 и 2 на числовой прямой (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое). Определим знаки на интервалах: - При \( x > 2 \) выражение положительно (+). - При \( 1 < x < 2 \) выражение отрицательно (-). - При \( x < 1 \) выражение положительно (+). Нам нужны интервалы, где выражение \( \geq 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \) Задание 2. Решить неравенство: \[ x(x - 3)(x + 2) > 0 \] Решение: 1. Найдем нули функции: \[ x = 0, \quad x = 3, \quad x = -2 \] 2. Отметим эти точки на числовой прямой (точки выколотые, так как неравенство строгое): -2, 0, 3. 3. Определим знаки на интервалах методом "змейки": - Интервал \( (3; +\infty) \): знак (+) - Интервал \( (0; 3) \): знак (-) - Интервал \( (-2; 0) \): знак (+) - Интервал \( (-\infty; -2) \): знак (-) Нам нужны интервалы со знаком (+). Ответ: \( x \in (-2; 0) \cup (3; +\infty) \) Задание 3. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y^2 - x = 14 \\ x - y = -2 \end{cases} \] Решение: 1. Выразим \( x \) из второго уравнения: \[ x = y - 2 \] 2. Подставим полученное выражение в первое уравнение: \[ y^2 - (y - 2) = 14 \] \[ y^2 - y + 2 - 14 = 0 \] \[ y^2 - y - 12 = 0 \] 3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) по теореме Виета: \[ y_1 + y_2 = 1 \] \[ y_1 \cdot y_2 = -12 \] Получаем корни: \( y_1 = 4 \), \( y_2 = -3 \). 4. Найдем соответствующие значения \( x \), подставляя \( y \) в выражение \( x = y - 2 \): Если \( y_1 = 4 \), то \( x_1 = 4 - 2 = 2 \). Если \( y_2 = -3 \), то \( x_2 = -3 - 2 = -5 \). Ответ: \( (2; 4), (-5; -3) \)