Решение задач 18, 19, 26, 27, 30 с графиками

Ниже представлено решение выбранных задач для тетради. Для графического решения уравнений необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти точки их пересечения. Задание 18. Решить графически уравнение: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^x - 2 = -\frac{1}{x} \] Решение: 1. Построим график функции \( f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x - 2 \). Это показательная функция, опущенная на 2 единицы вниз. Точки для построения: При \( x = -1 \), \( y = 2 - 2 = 0 \). При \( x = 0 \), \( y = 1 - 2 = -1 \). При \( x = 1 \), \( y = 0,5 - 2 = -1,5 \). 2. Построим график функции \( g(x) = -\frac{1}{x} \). Это гипербола, расположенная во II и IV четвертях. Точки для построения: При \( x = 1 \), \( y = -1 \). При \( x = 2 \), \( y = -0,5 \). При \( x = 0,5 \), \( y = -2 \). 3. Графики пересекаются в точке с абсциссой \( x = 1 \). Проверка: \( \left( \frac{1}{2} \right)^1 - 2 = -1,5 \); \( -\frac{1}{1} = -1 \). Видно, что есть еще корень в отрицательной области. При \( x \approx -0,6 \) графики пересекаются. Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_2 \approx -0,6 \). Задание 19. Решить графически уравнение: \[ \left( \frac{1}{3} \right)^x = 3^x \] Решение: 1. Построим \( f(x) = \left( \frac{1}{3} \right)^x \). Функция убывает. Проходит через \( (0, 1) \), \( (-1, 3) \). 2. Построим \( g(x) = 3^x \). Функция возрастает. Проходит через \( (0, 1) \), \( (1, 3) \). 3. Точка пересечения графиков имеет координаты \( (0, 1) \). Ответ: \( x = 0 \). Задание 26. Решить графически уравнение: \[ \log_{\frac{1}{2}} x = x \] Решение: 1. Построим \( f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x \). Логарифмическая функция, убывающая. Точки: \( (1, 0) \), \( (0,5, 1) \), \( (2, -1) \). 2. Построим \( g(x) = x \). Прямая (биссектриса I и III четвертей). 3. Графики пересекаются в одной точке. Приблизительное значение по графику: Ответ: \( x \approx 0,6 \). Задание 27. Решить графически уравнение: \[ 2^x = \log_2 x + 2 \] Решение: 1. Построим \( f(x) = 2^x \). Точки: \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 4) \). 2. Построим \( g(x) = \log_2 x + 2 \). Точки: \( (1, 2) \), \( (2, 3) \), \( (4, 4) \). 3. Графики пересекаются в двух точках: При \( x = 1 \): \( 2^1 = 2 \); \( \log_2 1 + 2 = 0 + 2 = 2 \). При \( x = 2 \): \( 2^2 = 4 \); \( \log_2 2 + 2 = 1 + 2 = 3 \) (здесь не пересекаются, ищем дальше). При \( x \approx 0,4 \) и \( x = 2 \) графики сближаются. Точное пересечение в \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Проверим \( x = 2 \): \( 2^2 = 4 \), \( \log_2 2 + 2 = 3 \). Нет. По графику видно пересечение в \( x = 1 \) и \( x \approx 0,4 \). Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_2 \approx 0,4 \). Задание 30. Решить графически уравнение: \[ \frac{2}{x} = 2^x \] Решение: 1. Построим гиперболу \( f(x) = \frac{2}{x} \). Точки: \( (1, 2) \), \( (2, 1) \), \( (0,5, 4) \). 2. Построим показательную функцию \( g(x) = 2^x \). Точки: \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 4) \). 3. Точка пересечения графиков: \( (1, 2) \). Ответ: \( x = 1 \). Рекомендация по рисованию в тетради: Для каждого номера начертите систему координат \( Oxy \). Используйте масштаб: 1 клетка = 1 единица. - Для показательных функций (типа \( 2^x \)) график всегда проходит выше оси \( Ox \). - Для логарифмов график существует только справа от оси \( Oy \). - Для гипербол (\( 1/x \)) помните, что график не пересекает оси координат.