Решение задачи: Вычисление e^-0.5 с точностью 10^-4

Задание 1. Найти значение функции \( e^{-0,5} \) с точностью \( 10^{-4} \). Разложим функцию \( e^x \) в ряд Маклорена: \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \] Подставим \( x = -0,5 \): \[ e^{-0,5} = 1 - 0,5 + \frac{(0,5)^2}{2} - \frac{(0,5)^3}{6} + \frac{(0,5)^4}{24} - \frac{(0,5)^5}{120} + \dots \] Вычислим члены ряда: \( a_0 = 1 \) \( a_1 = -0,5 \) \( a_2 = \frac{0,25}{2} = 0,125 \) \( a_3 = -\frac{0,125}{6} \approx -0,020833 \) \( a_4 = \frac{0,0625}{24} \approx 0,002604 \) \( a_5 = -\frac{0,03125}{120} \approx -0,000260 \) \( a_6 = \frac{0,015625}{720} \approx 0,000021 \) Так как ряд знакочередующийся, погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Нам нужна точность \( 0,0001 \). Член \( a_6 < 0,0001 \), значит, суммируем до \( a_5 \): \[ e^{-0,5} \approx 1 - 0,5 + 0,125 - 0,020833 + 0,002604 - 0,000260 \approx 0,606511 \] Ответ: 0,6065. Задание 3. Найти значение функции \( \cos(0,3) \) с точностью \( 10^{-4} \). Разложение в ряд Маклорена для косинуса: \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \] Подставим \( x = 0,3 \): \[ \cos(0,3) = 1 - \frac{(0,3)^2}{2} + \frac{(0,3)^4}{24} - \dots \] Вычислим члены: \( a_0 = 1 \) \( a_1 = -\frac{0,09}{2} = -0,045 \) \( a_2 = \frac{0,0081}{24} = 0,0003375 \) \( a_3 = -\frac{0,000729}{720} \approx -0,000001 \) Член \( a_3 \) уже меньше заданной точности. Суммируем \( a_0, a_1, a_2 \): \[ \cos(0,3) \approx 1 - 0,045 + 0,0003375 = 0,9553375 \] Ответ: 0,9553. Задание 6. Найти значение функции \( \text{arctg}(0,2) \) с точностью \( 10^{-4} \). Разложение в ряд Маклорена: \[ \text{arctg } x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots \] Подставим \( x = 0,2 \): \[ \text{arctg}(0,2) = 0,2 - \frac{(0,2)^3}{3} + \frac{(0,2)^5}{5} - \dots \] Вычислим члены: \( a_1 = 0,2 \) \( a_2 = -\frac{0,008}{3} \approx -0,002666 \) \( a_3 = \frac{0,00032}{5} = 0,000064 \) Член \( a_3 < 0,0001 \), поэтому достаточно первых двух членов для обеспечения точности (погрешность будет меньше \( a_3 \)): \[ \text{arctg}(0,2) \approx 0,2 - 0,002666 = 0,197334 \] Ответ: 0,1973. Задание 8. Вычислить интеграл \( \int_{0,1}^{0,2} \frac{\sin x^2}{x} dx \) с точностью \( 10^{-4} \). Разложим \( \sin x^2 \) в ряд: \[ \sin x^2 = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \dots = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots \] Разделим на \( x \): \[ \frac{\sin x^2}{x} = x - \frac{x^5}{6} + \frac{x^9}{120} - \dots \] Интегрируем почленно: \[ \int_{0,1}^{0,2} (x - \frac{x^5}{6}) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^6}{36} \right]_{0,1}^{0,2} \] Вычисляем значения: \[ \left( \frac{0,04}{2} - \frac{0,000064}{36} \right) - \left( \frac{0,01}{2} - \frac{0,000001}{36} \right) \] \[ (0,02 - 0,00000177) - (0,005 - 0,00000002) \approx 0,02 - 0,005 = 0,015 \] Проверим следующий член: \( \int x^9/120 = x^{10}/1200 \). При \( x=0,2 \) это \( 0,2^{10}/1200 \approx 10^{-10} \), что много меньше точности. \[ I \approx 0,015 - 0,00000175 = 0,01499825 \] Ответ: 0,0150.