Решение задачи: Закон сохранения импульса (9 класс)

Ниже представлено решение контрольной работы по теме «Закон сохранения импульса» для двух вариантов. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант 1 Задача 1 Дано: \(x(t) = 30 + 10t - 1,5t^2\) \(t = 10\) с \(m = 2\) кг (масса не указана в тексте, обычно в таких задачах она принимается за 2 кг или дана в условии, которое обрезано. Примем \(m = 2\) кг для примера расчета). Найти: \(p\), \(\Delta p\), \(F\). Решение: Уравнение скорости — это производная от координаты: \[v(t) = x'(t) = 10 - 3t\] Начальная скорость (\(t=0\)): \(v_0 = 10\) м/с. Скорость через 10 с: \(v = 10 - 3 \cdot 10 = -20\) м/с. Импульс через 10 с: \[p = m \cdot v = 2 \cdot (-20) = -40 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\] Изменение импульса: \[\Delta p = p - p_0 = m(v - v_0) = 2 \cdot (-20 - 10) = -60 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\] Сила по второму закону Ньютона в импульсной форме: \[F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{-60}{10} = -6 \text{ Н}\] Ответ: \(p = -40 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\), \(\Delta p = -60 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\), \(F = -6 \text{ Н}\). Задача 2 Дано: \(m_1 = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}\) \(m_2 = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}\) \(v_1 = 2 \text{ м/с}\) \(v = 0\) (остановились) Найти: \(v_2\). Решение: По закону сохранения импульса (тела движутся навстречу): \[m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0\] \[m_1 v_1 = m_2 v_2\] \[v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2} = \frac{0,2 \cdot 2}{0,5} = 0,8 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_2 = 0,8 \text{ м/с}\). Задача 3 Дано: \(M = 60 \text{ кг}\) \(m = 3 \text{ кг}\) \(v_k = 8 \text{ м/с}\) \(\mu = 0,02\) Найти: \(S\). Решение: По закону сохранения импульса (конькобежец и камень): \[0 = M v_c - m v_k \Rightarrow v_c = \frac{m v_k}{M} = \frac{3 \cdot 8}{60} = 0,4 \text{ м/с}\] Работа силы трения равна изменению кинетической энергии: \[A_{тр} = \Delta E_k \Rightarrow \mu M g S = \frac{M v_c^2}{2}\] \[S = \frac{v_c^2}{2 \mu g} = \frac{0,4^2}{2 \cdot 0,02 \cdot 10} = \frac{0,16}{0,4} = 0,4 \text{ м}\] Ответ: \(S = 0,4 \text{ м}\). Задача 4 Дано: \(M = 120 \text{ кг}\) \(m = 80 \text{ кг}\) \(v_0 = 2 \text{ м/с}\) \(v_ч = -2 \text{ м/с}\) (в обратную сторону) Найти: \(v_т\). Решение: Закон сохранения импульса: \[(M + m)v_0 = M v_т + m v_ч\] \[(120 + 80) \cdot 2 = 120 \cdot v_т + 80 \cdot (-2)\] \[400 = 120 v_т - 160\] \[560 = 120 v_т \Rightarrow v_т = \frac{560}{120} \approx 4,67 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_т \approx 4,67 \text{ м/с}\). Задача 5 Дано: \(m_1 = 1 \text{ кг}\), \(m_2 = 1 \text{ кг}\) \(v_1 = 800 \text{ м/с}\) \(v_2 = -400 \text{ м/с}\) Найти: \(v_0\). Решение: Общая масса \(M = m_1 + m_2 = 2 \text{ кг}\). Закон сохранения импульса: \[M v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2\] \[2 \cdot v_0 = 1 \cdot 800 + 1 \cdot (-400)\] \[2 v_0 = 400 \Rightarrow v_0 = 200 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_0 = 200 \text{ м/с}\). Вариант 2 Задача 1 Дано: \(x(t) = 150 - 4t + t^2\) \(t = 5\) с \(m = 2\) кг (примем массу за 2 кг) Найти: \(p\), \(\Delta p\), \(F\). Решение: Скорость: \(v(t) = x'(t) = -4 + 2t\). \(v_0 = -4\) м/с. Через 5 с: \(v = -4 + 2 \cdot 5 = 6\) м/с. Импульс: \(p = m v = 2 \cdot 6 = 12 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\). Изменение импульса: \(\Delta p = m(v - v_0) = 2(6 - (-4)) = 20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\). Сила: \(F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{20}{5} = 4 \text{ Н}\). Ответ: \(p = 12 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\), \(\Delta p = 20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\), \(F = 4 \text{ Н}\). Задача 2 Дано: \(m_1 = 10 \text{ т} = 10000 \text{ кг}\) \(v_1 = 1 \text{ м/с}\) \(m_2 = 5 \text{ т} = 5000 \text{ кг}\) \(v_2 = 0\) Найти: \(v\). Решение: Закон сохранения импульса (неупругое столкновение): \[m_1 v_1 = (m_1 + m_2)v\] \[v = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{10000 \cdot 1}{15000} = \frac{2}{3} \approx 0,67 \text{ м/с}\] Ответ: \(v \approx 0,67 \text{ м/с}\). Задача 3 Дано: \(M = 60 \text{ кг}\) \(m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}\) \(v_м = 72 \text{ км/ч} = 20 \text{ м/с}\) \(\mu = 0,05\) Найти: \(S\). Решение: Закон сохранения импульса: \[m v_м = (M + m)v_ч \Rightarrow v_ч = \frac{0,5 \cdot 20}{60,5} \approx 0,165 \text{ м/с}\] Тормозной путь: \[S = \frac{v_ч^2}{2 \mu g} = \frac{0,165^2}{2 \cdot 0,05 \cdot 10} = \frac{0,027}{1} = 0,027 \text{ м} = 2,7 \text{ см}\] Ответ: \(S = 2,7 \text{ см}\). Задача 4 Дано: \(M = 1,8 \text{ кг}\) \(v_б = 2 \text{ м/с}\) \(m = 9 \text{ г} = 0,009 \text{ кг}\) \(u = 500 \text{ м/с}\) (скорость пули после) \(v_{б2} = 0\) (брусок остановился) Найти: \(v_п\). Решение: Пусть пуля летит навстречу бруску. \[m v_п - M v_б = m u + 0\] \[0,009 \cdot v_п - 1,8 \cdot 2 = 0,009 \cdot 500\] \[0,009 v_п - 3,6 = 4,5\] \[0,009 v_п = 8,1 \Rightarrow v_п = \frac{8,1}{0,009} = 900 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_п = 900 \text{ м/с}\). Задача 5 Дано: \(M = 1 + 1,5 = 2,5 \text{ кг}\) \(v_0 = 10 \text{ м/с}\) \(m_1 = 1,5 \text{ кг}\), \(v_1 = 25 \text{ м/с}\) \(m_2 = 1 \text{ кг}\) Найти: \(v_2\). Решение: Закон сохранения импульса: \[M v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2\] \[2,5 \cdot 10 = 1,5 \cdot 25 + 1 \cdot v_2\] \[25 = 37,5 + v_2\] \[v_2 = 25 - 37,5 = -12,5 \text{ м/с}\] Знак минус означает, что осколок полетел в противоположную сторону. Ответ: \(v_2 = 12,5 \text{ м/с}\), назад.