Решение Дифференциального Уравнения x'' = 7 Оперативным Методом

Решение задачи операционным методом (с помощью преобразования Лапласа). Дано дифференциальное уравнение: \[ x'' = 7 \] с начальными условиями: \[ x(0) = 0, \quad x'(0) = 3 \] 1. Перейдем от оригинала \( x(t) \) к изображению \( X(p) \). Пусть \( x(t) \fallingdotseq X(p) \). Тогда по свойствам преобразования Лапласа: \[ x'(t) \fallingdotseq p X(p) - x(0) \] \[ x''(t) \fallingdotseq p^2 X(p) - p x(0) - x'(0) \] 2. Подставим начальные условия в выражение для второй производной: \[ x''(t) \fallingdotseq p^2 X(p) - p \cdot 0 - 3 = p^2 X(p) - 3 \] 3. Изображение правой части уравнения (константы 7): \[ 7 \fallingdotseq \frac{7}{p} \] 4. Составим операторное уравнение: \[ p^2 X(p) - 3 = \frac{7}{p} \] 5. Выразим \( X(p) \): \[ p^2 X(p) = \frac{7}{p} + 3 \] \[ p^2 X(p) = \frac{7 + 3p}{p} \] \[ X(p) = \frac{7 + 3p}{p^3} \] \[ X(p) = \frac{7}{p^3} + \frac{3p}{p^3} = \frac{7}{p^3} + \frac{3}{p^2} \] 6. Перейдем обратно к оригиналам, используя таблицу преобразований: Известно, что \( \frac{n!}{p^{n+1}} \fallingdotseq t^n \). Для первого слагаемого: \( \frac{2}{p^3} \fallingdotseq t^2 \), следовательно \( \frac{7}{p^3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{p^3} \fallingdotseq \frac{7}{2} t^2 \). Для второго слагаемого: \( \frac{1}{p^2} \fallingdotseq t \), следовательно \( \frac{3}{p^2} \fallingdotseq 3t \). 7. Запишем итоговое решение: \[ x(t) = \frac{7}{2} t^2 + 3t \] или \[ x(t) = 3,5 t^2 + 3t \] Ответ: \( x(t) = 3,5 t^2 + 3t \)