Решение: Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv, если v = e^x sin y + 2y

Задание: Найдите аналитическую функцию \( f(z) = u + iv \), если \( v = e^x \sin y + 2y \) и \( f(0) = 2 \). Решение: Для нахождения функции \( u(x, y) \) воспользуемся условиями Коши — Римана: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] 1. Найдем частные производные функции \( v \): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \sin y + 2y) = e^x \sin y \] \[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y + 2y) = e^x \cos y + 2 \] 2. Составим систему уравнений для \( u(x, y) \): \[ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y + 2 \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y \end{cases} \] 3. Проинтегрируем первое уравнение по \( x \): \[ u(x, y) = \int (e^x \cos y + 2) dx = e^x \cos y + 2x + C(y) \] Здесь \( C(y) \) — неизвестная функция от \( y \). 4. Чтобы найти \( C(y) \), дифференцируем полученное выражение по \( y \) и приравниваем ко второму уравнению системы: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y + C'(y) \] Сравнивая с \( \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y \), получаем: \[ -e^x \sin y + C'(y) = -e^x \sin y \implies C'(y) = 0 \implies C(y) = C \] где \( C \) — константа. Таким образом, \( u(x, y) = e^x \cos y + 2x + C \). 5. Запишем функцию \( f(z) \): \[ f(z) = u + iv = (e^x \cos y + 2x + C) + i(e^x \sin y + 2y) \] \[ f(z) = e^x(\cos y + i \sin y) + 2(x + iy) + C \] Используя формулу Эйлера \( e^{iy} = \cos y + i \sin y \) и определение \( z = x + iy \): \[ f(z) = e^x \cdot e^{iy} + 2z + C = e^{x+iy} + 2z + C = e^z + 2z + C \] 6. Найдем константу \( C \), используя условие \( f(0) = 2 \): \[ f(0) = e^0 + 2(0) + C = 2 \] \[ 1 + C = 2 \implies C = 1 \] Окончательно: \[ f(z) = e^z + 2z + 1 \] Ответ: \( f(z) = e^z + 2z + 1 \).