Решение Интеграла Коши по Замкнутому Контуру

Задание: Вычислить интеграл по замкнутому контуру \( L \): \[ \oint_{(L)} \frac{(z + 1) dz}{z(z - 1)^2(z - 3)} \] для контуров: 1) \( |z| = 1/2 \); 2) \( |z - 1| = 1/2 \); 3) \( |z| = 2 \). Решение: Здесь удобно воспользоваться интегральной формулой Коши и её следствием: \[ \int_{C} \frac{f(z) dz}{z - z_0} = 2\pi i f(z_0) \] \[ \int_{C} \frac{f(z) dz}{(z - z_0)^{n+1}} = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0) \] где функция \( f(z) \) является аналитической в области \( D \), ограниченной контуром \( C \), а точка \( z_0 \) лежит внутри этой области. Особые точки подынтегральной функции: \( z_1 = 0 \) (простой полюс), \( z_2 = 1 \) (полюс второго порядка), \( z_3 = 3 \) (простой полюс). 1) Контур \( |z| = 1/2 \). Внутри этого контура лежит только точка \( z_1 = 0 \). \[ \oint_{|z|=1/2} \frac{\frac{z+1}{(z-1)^2(z-3)}}{z} dz = 2\pi i \left( \frac{z+1}{(z-1)^2(z-3)} \right)_{z=0} = 2\pi i \left( \frac{1}{1 \cdot (-3)} \right) = -\frac{2\pi i}{3} \] 2) Контур \( |z - 1| = 1/2 \). Внутри этого контура лежит только точка \( z_2 = 1 \). Это полюс второго порядка (\( n=1 \)). \[ \oint_{|z-1|=1/2} \frac{\frac{z+1}{z(z-3)}}{(z-1)^2} dz = \frac{2\pi i}{1!} \left( \frac{z+1}{z^2-3z} \right)'_{z=1} \] Найдем производную: \[ \left( \frac{z+1}{z^2-3z} \right)' = \frac{1 \cdot (z^2-3z) - (z+1)(2z-3)}{(z^2-3z)^2} = \frac{z^2-3z - (2z^2-3z+2z-3)}{(z^2-3z)^2} = \frac{-z^2-2z+3}{(z^2-3z)^2} \] Подставим \( z=1 \): \[ \frac{-1-2+3}{(1-3)^2} = \frac{0}{4} = 0 \] Значит, интеграл равен: \( 2\pi i \cdot 0 = 0 \). 3) Контур \( |z| = 2 \). Внутри этого контура лежат две точки: \( z_1 = 0 \) и \( z_2 = 1 \). Применим теорему Коши для многосвязной области: \[ \oint_{|z|=2} = \oint_{\gamma_1} + \oint_{\gamma_2} \] где \( \gamma_1 \) окружает \( z=0 \), а \( \gamma_2 \) окружает \( z=1 \). Эти значения мы уже вычислили в пунктах 1 и 2. \[ \oint_{|z|=2} \frac{(z+1) dz}{z(z-1)^2(z-3)} = -\frac{2\pi i}{3} + 0 = -\frac{2\pi i}{3} \] Ответ: 1) \( -\frac{2\pi i}{3} \); 2) \( 0 \); 3) \( -\frac{2\pi i}{3} \).