Решение задачи 4.1: Исследование сходимости числового ряда

Ниже представлено подробное решение задач из последнего изображения, оформленное по образцу ваших примеров для удобного переписывания в тетрадь. Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды. 4.1. Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n^2 + 4}{n^2 + 5} \right)^{n^2} \] Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда. Найдем предел общего члена \( u_n \) при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3n^2 + 4}{n^2 + 5} \right)^{n^2} \] Так как основание степени стремится к: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 4}{n^2 + 5} = 3 \] То предел общего члена равен: \[ \lim_{n \to \infty} 3^{n^2} = \infty \neq 0 \] Так как необходимый признак сходимости не выполнен (предел общего члена не равен нулю), то ряд расходится. 4.2. Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \text{tg} \frac{\pi n}{n^3 + 2n + 3} \] Решение. Исследуем ряд по предельному признаку сравнения. При \( n \to \infty \) аргумент тангенса стремится к нулю: \[ \alpha_n = \frac{\pi n}{n^3 + 2n + 3} \sim \frac{\pi n}{n^3} = \frac{\pi}{n^2} \] Известно, что при \( \alpha \to 0 \) справедливо \( \text{tg} \alpha \sim \alpha \). Тогда: \[ u_n = \text{tg} \frac{\pi n}{n^3 + 2n + 3} \sim \frac{\pi}{n^2} \] Рассмотрим эталонный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{n^2} = \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). Данный ряд сходится, так как он является обобщенным гармоническим рядом с \( p = 2 > 1 \). Следовательно, по предельному признаку сравнения исходный ряд также сходится. 4.3. Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n!} \] Решение. Общий член ряда содержит факториал, поэтому воспользуемся признаком Даламбера. \[ u_n = \frac{1}{2^n \cdot n!}, \quad u_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} \] Вычислим предел отношения: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \cdot n!}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \cdot n!}{2^n \cdot 2 \cdot n! \cdot (n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(n+1)} = 0 \] Так как полученный предел \( L = 0 < 1 \), то по признаку Даламбера ряд сходится. 4.4. Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n \cdot \ln^3 \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \] Решение. Это знакочередующийся ряд. Исследуем его на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд из модулей: \[ \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \ln^3 \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \] При \( n \to \infty \) используем эквивалентность \( \ln(1+x) \sim x \): \[ |u_n| = n \cdot \left( \ln \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \right)^3 \sim n \cdot \left( \frac{5}{n} \right)^3 = n \cdot \frac{125}{n^3} = \frac{125}{n^2} \] Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{125}{n^2} \) сходится (\( p = 2 > 1 \)). Так как ряд из модулей сходится по предельному признаку сравнения, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.