Решение задачи 4.4: Исследование на сходимость ряда

Ниже представлено решение задачи 4.4 из вашего списка, оформленное в соответствии с примером исследования знакочередующегося ряда на абсолютную и условную сходимость. Задача 4.4. Исследовать на сходимость ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n \cdot \ln^3 \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \] Решение. Имеем знакочередующийся ряд, поэтому исследуем ряд на сходимость и определим характер сходимости: абсолютная или условная сходимость. 1) Абсолютная сходимость: если сходится ряд абсолютных членов \[ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \], то исходный ряд сходится абсолютно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n n \cdot \ln^3 \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \right| = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \ln^3 \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \] Исследуем этот ряд по предельному признаку сравнения. Известно, что при \( \alpha \to 0 \) справедливо \( \ln(1+\alpha) \sim \alpha \). Так как при \( n \to \infty \) величина \( \frac{5}{n} \to 0 \), то: \[ a_n = n \cdot \ln^3 \left( 1 + \frac{5}{n} \right) \sim n \cdot \left( \frac{5}{n} \right)^3 = \frac{125}{n^2} = b_n \] Числовой ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{125}{n^2} = 125 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \] сходится, так как он является обобщенно-гармоническим с \( p = 2 > 1 \). Следовательно, по предельному признаку сравнения ряд из абсолютных членов сходится. Это означает, что исходный ряд сходится абсолютно. Так как установлена абсолютная сходимость, дальнейшая проверка по признаку Лейбница (на условную сходимость) не требуется, так как из абсолютной сходимости всегда следует сходимость ряда. Ответ: Ряд сходится абсолютно.