Решение задачи 5.1(а): Область сходимости степенного ряда

Ниже представлено решение задачи 5.1 (а) и (б), оформленное для переписывания в тетрадь. 5.1. Найдите и постройте область сходимости. а) \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(3n - 2)(x - 3)^n}{(n + 1)^2 \cdot 2^{n+1}} \] Решение. Данный ряд является степенным рядом вида \( \sum c_n (x - x_0)^n \), где \( x_0 = 3 \). Найдем радиус сходимости \( R \), используя признак Даламбера для коэффициентов \( c_n \): \[ c_n = \frac{(-1)^n (3n - 2)}{(n + 1)^2 \cdot 2^{n+1}} \] \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3n - 2)}{(n + 1)^2 \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{(n + 2)^2 \cdot 2^{n+2}}{(3n + 1)} \right| \] \[ R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3n - 2}{3n + 1} \cdot \frac{(n + 2)^2}{(n + 1)^2} \cdot \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} \right) = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \] Интервал сходимости: \( |x - 3| < 2 \), то есть \( 3 - 2 < x < 3 + 2 \), откуда \( x \in (1, 5) \). Исследуем сходимость на концах интервала: 1) При \( x = 5 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(3n - 2) \cdot 2^n}{(n + 1)^2 \cdot 2^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{3n - 2}{2(n + 1)^2} \] Это знакочередующийся ряд. Он сходится по признаку Лейбница, так как предел общего члена равен 0 и модули убывают. 2) При \( x = 1 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(3n - 2) \cdot (-2)^n}{(n + 1)^2 \cdot 2^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot (-1)^n \frac{(3n - 2) \cdot 2^n}{(n + 1)^2 \cdot 2^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n - 2}{2(n + 1)^2} \] Этот ряд ведет себя как \( \sum \frac{1}{n} \) (расходится по предельному признаку сравнения). Область сходимости: \( x \in (1, 5] \). На числовой оси это полуинтервал от 1 (выколотая точка) до 5 (закрашенная). б) \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z + 3i}{3} \right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{z + 3i} \right)^n \] Решение. Это ряд Лорана, состоящий из двух геометрических прогрессий. Ряд сходится тогда, когда сходятся обе его части. 1) Для первой части (правильная часть): \[ \left| \frac{z + 3i}{3} \right| < 1 \Rightarrow |z + 3i| < 3 \] Это внутренность круга с центром в точке \( z_0 = -3i \) и радиусом \( R_2 = 3 \). 2) Для второй части (главная часть): \[ \left| \frac{2}{z + 3i} \right| < 1 \Rightarrow |z + 3i| > 2 \] Это внешность круга с центром в точке \( z_0 = -3i \) и радиусом \( R_1 = 2 \). Область сходимости — пересечение этих условий: \[ 2 < |z + 3i| < 3 \] Это открытое кольцо на комплексной плоскости с центром в точке \( (0; -3) \), внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3. Построение: На комплексной плоскости отметьте точку \( -3i \) на мнимой оси. Проведите две пунктирные окружности с радиусами 2 и 3. Заштрихуйте область между ними.