Решение задачи по геометрии с координатами вершин треугольника

Хорошо, давайте решим задачу по заданному примеру. Даны координаты вершин треугольника \(ABC\): \(A(-4; 2)\), \(B(4; -4)\), \(C(6; 10)\). Найти: 1) длину стороны \(AB\); 2) уравнения сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\) и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол \(B\); 4) уравнение медианы \(AE\); 5) уравнение и длину высоты \(CD\); 6) уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \(E\) параллельно стороне \(AB\); 7) уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых \(AB\) и \(AC\); 8) координаты точки \(M\), расположенной симметрично точке \(A\) относительно прямой \(CD\); 9) систему линейных неравенств, определяющих треугольник \(ABC\). Решение. 1. Длина стороны \(AB\). Расстояние \(d\) между двумя точками \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\) определяется по формуле: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Найдем длину стороны \(AB\) как расстояние между точками \(A(-4; 2)\) и \(B(4; -4)\): \[AB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(4 + 4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ (ед.)}\] Длина стороны \(AB\) равна 10. 2. Уравнения сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\) и их угловые коэффициенты. Уравнение прямой, проходящей через точки \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\), имеет вид: \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\] а) Уравнение стороны \(AB\). Подставляем координаты точек \(A(-4; 2)\) и \(B(4; -4)\): \[\frac{x - (-4)}{4 - (-4)} = \frac{y - 2}{-4 - 2}\] \[\frac{x + 4}{8} = \frac{y - 2}{-6}\] Умножим обе части на 24 (наименьшее общее кратное 8 и -6): \[3(x + 4) = -4(y - 2)\] \[3x + 12 = -4y + 8\] \[3x + 4y + 4 = 0 \quad (AB)\] Для нахождения углового коэффициента \(k_{AB}\) прямой \(AB\) разрешим полученное уравнение относительно \(y\): \[4y = -3x - 4\] \[y = -\frac{3}{4}x - 1\] Отсюда \(k_{AB} = -\frac{3}{4}\). б) Уравнение стороны \(BC\). Подставляем координаты точек \(B(4; -4)\) и \(C(6; 10)\): \[\frac{x - 4}{6 - 4} = \frac{y - (-4)}{10 - (-4)}\] \[\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 4}{14}\] Умножим обе части на 14: \[7(x - 4) = y + 4\] \[7x - 28 = y + 4\] \[7x - y - 32 = 0 \quad (BC)\] Для нахождения углового коэффициента \(k_{BC}\) прямой \(BC\) разрешим полученное уравнение относительно \(y\): \[y = 7x - 32\] Отсюда \(k_{BC} = 7\). в) Уравнение стороны \(AC\). Подставляем координаты точек \(A(-4; 2)\) и \(C(6; 10)\): \[\frac{x - (-4)}{6 - (-4)} = \frac{y - 2}{10 - 2}\] \[\frac{x + 4}{10} = \frac{y - 2}{8}\] Умножим обе части на 40: \[4(x + 4) = 5(y - 2)\] \[4x + 16 = 5y - 10\] \[4x - 5y + 26 = 0 \quad (AC)\] Для нахождения углового коэффициента \(k_{AC}\) прямой \(AC\) разрешим полученное уравнение относительно \(y\): \[5y = 4x + 26\] \[y = \frac{4}{5}x + \frac{26}{5}\] Отсюда \(k_{AC} = \frac{4}{5}\). 3. Внутренний угол \(B\). Тангенс угла \(\varphi\) между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны \(k_1\) и \(k_2\), определяется по формуле: \[\text{tg}\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|\] Внутренний угол \(B\) образован прямыми \(BA\) и \(BC\). Для удобства возьмем \(k_1 = k_{BC} = 7\) и \(k_2 = k_{BA} = k_{AB} = -\frac{3}{4}\). \[\text{tg}B = \left|\frac{-\frac{3}{4} - 7}{1 + 7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}\right| = \left|\frac{-\frac{3}{4} - \frac{28}{4}}{1 - \frac{21}{4}}\right| = \left|\frac{-\frac{31}{4}}{\frac{4 - 21}{4}}\right| = \left|\frac{-\frac{31}{4}}{-\frac{17}{4}}\right| = \left|\frac{31}{17}\right| = \frac{31}{17}\] \[B = \text{arctg}\left(\frac{31}{17}\right) \approx \text{arctg}(1.8235) \approx 61.26^\circ\] 4. Уравнение медианы \(AE\). Медиана \(AE\) соединяет вершину \(A\) с серединой стороны \(BC\). Сначала найдем координаты точки \(E\), которая является серединой стороны \(BC\). Для этого применим формулы деления отрезка на две равные части: \[x_E = \frac{x_B + x_C}{2}, \quad y_E = \frac{y_B + y_C}{2}\] \[x_E = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[y_E = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Следовательно, точка \(E\) имеет координаты \(E(5; 3)\). Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через две точки \(A(-4; 2)\) и \(E(5; 3)\): \[\frac{x - (-4)}{5 - (-4)} = \frac{y - 2}{3 - 2}\] \[\frac{x + 4}{9} = \frac{y - 2}{1}\] \[1(x + 4) = 9(y - 2)\] \[x + 4 = 9y - 18\] \[x - 9y + 22 = 0 \quad (AE)\] 5. Уравнение и длина высоты \(CD\). Высота \(CD\) перпендикулярна стороне \(AB\). Для нахождения углового коэффициента высоты \(CD\), воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых: \[k_1 = -\frac{1}{k_2}\] Мы знаем \(k_{AB} = -\frac{3}{4}\). Тогда угловой коэффициент высоты \(CD\) будет: \[k_{CD} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\] Уравнение прямой, проходящей через данную точку \(C(x_0; y_0)\) в заданном направлении (угловой коэффициент \(k\) известен), имеет вид: \[y - y_0 = k(x - x_0)\] Подставляем в последнее уравнение координаты точки \(C(6; 10)\) и \(k_{CD} = \frac{4}{3}\): \[y - 10 = \frac{4}{3}(x - 6)\] Умножим обе части на 3: \[3(y - 10) = 4(x - 6)\] \[3y - 30 = 4x - 24\] \[4x - 3y + 6 = 0 \quad (CD)\] Длину высоты \(CD\) найдем как расстояние от точки \(C(6; 10)\) до прямой \(AB\): \(3x + 4y + 4 = 0\). Расстояние от точки \(M(x_0; y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) определяется по формуле: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Подставляем в формулу необходимые величины: \[CD = \frac{|3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|18 + 40 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|62|}{\sqrt{25}} = \frac{62}{5} = 12.4 \text{ (ед.)}\] Длина высоты \(CD\) равна 12.4. 6. Уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \(E\) параллельно стороне \(AB\). Так как прямая \(l\) параллельна стороне \(AB\), то из условия параллельности двух прямых ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой \(AB\): \[k_l = k_{AB} = -\frac{3}{4}\] Прямая \(l\) проходит через точку \(E(5; 3)\). Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом: \[y - y_E = k_l(x - x_E)\] \[y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 5)\] Умножим обе части на 4: \[4(y - 3) = -3(x - 5)\] \[4y - 12 = -3x + 15\] \[3x + 4y - 27 = 0 \quad (l)\] 7. Уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых \(AB\) и \(AC\). Уравнения прямых \(AB\) и \(AC\) в общем виде: \(AB\): \(3x + 4y + 4 = 0\) \(AC\): \(4x - 5y + 26 = 0\) Уравнения биссектрис углов, образованных двумя прямыми \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\), имеют вид: \[\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}\] Для прямых \(AB\) и \(AC\): \(\sqrt{A_1^2 + B_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) \(\sqrt{A_2^2 + B_2^2} = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\) Тогда уравнения биссектрис: \[\frac{3x + 4y + 4}{5} = \pm \frac{4x - 5y + 26}{\sqrt{41}}\] Первая биссектриса (для острого угла, если знаки \(C_1\) и \(C_2\) одинаковы, то берем знак минус, если разные - плюс. Здесь \(C_1=4, C_2=26\), знаки одинаковые, поэтому для биссектрисы, проходящей через внутреннюю область угла, берем знак минус): \[\frac{3x + 4y + 4}{5} = - \frac{4x - 5y + 26}{\sqrt{41}}\] \[\sqrt{41}(3x + 4y + 4) = -5(4x - 5y + 26)\] \[3\sqrt{41}x + 4\sqrt{41}y + 4\sqrt{41} = -20x + 25y - 130\] \[(3\sqrt{41} + 20)x + (4\sqrt{41} - 25)y + (4\sqrt{41} + 130) = 0\] Вторая биссектриса: \[\frac{3x + 4y + 4}{5} = \frac{4x - 5y + 26}{\sqrt{41}}\] \[\sqrt{41}(3x + 4y + 4) = 5(4x - 5y + 26)\] \[3\sqrt{41}x + 4\sqrt{41}y + 4\sqrt{41} = 20x - 25y + 130\] \[(3\sqrt{41} - 20)x + (4\sqrt{41} + 25)y + (4\sqrt{41} - 130) = 0\] 8. Координаты точки \(M\), расположенной симметрично точке \(A\) относительно прямой \(CD\). Пусть \(D\) - точка пересечения прямой \(CD\) и прямой \(AM\). Так как точка \(M\) симметрична точке \(A\) относительно прямой \(CD\), то прямая \(AM\) перпендикулярна прямой \(CD\), и точка \(D\) является серединой отрезка \(AM\). Уравнение прямой \(CD\): \(4x - 3y + 6 = 0\). Угловой коэффициент прямой \(CD\) равен \(k_{CD} = \frac{4}{3}\). Прямая \(AM\) перпендикулярна прямой \(CD\), поэтому ее угловой коэффициент \(k_{AM}\) равен: \[k_{AM} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}\] Уравнение прямой \(AM\), проходящей через точку \(A(-4; 2)\) с угловым коэффициентом \(k_{AM} = -\frac{3}{4}\): \[y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-4))\] \[y - 2 = -\frac{3}{4}(x + 4)\] Умножим обе части на 4: \[4(y - 2) = -3(x + 4)\] \[4y - 8 = -3x - 12\] \[3x + 4y + 4 = 0 \quad (AM)\] Обратите внимание, что уравнение прямой \(AM\) совпадает с уравнением прямой \(AB\). Это означает, что точка \(M\) лежит на прямой \(AB\). Найдем координаты точки \(D\) как точки пересечения прямых \(AM\) (или \(AB\)) и \(CD\). Решим систему уравнений: \[\begin{cases} 3x + 4y + 4 = 0 \\ 4x - 3y + 6 = 0 \end{cases}\] Из первого уравнения выразим \(y\): \(4y = -3x - 4 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x - 1\). Подставим во второе уравнение: \[4x - 3\left(-\frac{3}{4}x - 1\right) + 6 = 0\] \[4x + \frac{9}{4}x + 3 + 6 = 0\] \[\frac{16x + 9x}{4} + 9 = 0\] \[\frac{25}{4}x = -9\] \[x = -9 \cdot \frac{4}{25} = -\frac{36}{25} = -1.44\] Найдем \(y\): \[y = -\frac{3}{4}\left(-\frac{36}{25}\right) - 1 = \frac{27}{25} - 1 = \frac{27 - 25}{25} = \frac{2}{25} = 0.08\] Таким образом, точка \(D\) имеет координаты \(D(-1.44; 0.08)\). Точка \(D\) является серединой отрезка \(AM\). Используем формулы середины отрезка: \[x_D = \frac{x_A + x_M}{2} \Rightarrow x_M = 2x_D - x_A\] \[y_D = \frac{y_A + y_M}{2} \Rightarrow y_M = 2y_D - y_A\] Подставим значения: \[x_M = 2(-1.44) - (-4) = -2.88 + 4 = 1.12\] \[y_M = 2(0.08) - 2 = 0.16 - 2 = -1.84\] Координаты точки \(M(1.12; -1.84)\). 9. Система линейных неравенств, определяющих треугольник \(ABC\). Множество точек треугольника \(ABC\) есть пересечение трех полуплоскостей. Каждая полуплоскость ограничена одной из сторон треугольника и содержит третью вершину. а) Неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой \(AB\) и содержащую точку \(C\). Уравнение прямой \(AB\): \(3x + 4y + 4 = 0\). Подставим координаты точки \(C(6; 10)\) в выражение \(3x + 4y + 4\): \[3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 + 4 = 18 + 40 + 4 = 62\] Так как \(62 > 0\), то неравенство, определяющее полуплоскость, содержащую точку \(C\), будет \(3x + 4y + 4 \ge 0\). б) Неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой \(BC\) и содержащую точку \(A\). Уравнение прямой \(BC\): \(7x - y - 32 = 0\). Подставим координаты точки \(A(-4; 2)\) в выражение \(7x - y - 32\): \[7 \cdot (-4) - 2 - 32 = -28 - 2 - 32 = -62\] Так как \(-62 < 0\), то неравенство, определяющее полуплоскость, содержащую точку \(A\), будет \(7x - y - 32 \le 0\). в) Неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой \(AC\) и содержащую точку \(B\). Уравнение прямой \(AC\): \(4x - 5y + 26 = 0\). Подставим координаты точки \(B(4; -4)\) в выражение \(4x - 5y + 26\): \[4 \cdot 4 - 5 \cdot (-4) + 26 = 16 + 20 + 26 = 62\] Так как \(62 > 0\), то неравенство, определяющее полуплоскость, содержащую точку \(B\), будет \(4x - 5y + 26 \ge 0\). Таким образом, множество точек треугольника \(ABC\) определяется системой неравенств: \[\begin{cases} 3x + 4y + 4 \ge 0 \\ 7x - y - 32 \le 0 \\ 4x - 5y + 26 \ge 0 \end{cases}\] (В примере есть пункт 9 про окружность, но в задании 4 его нет. Я пропустил его, так как он не относится к текущей задаче.) Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!