Решение задачи Коши степенным рядом до x^5

Решение задачи №15 Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда до \(x^5\): \[ \begin{cases} y'' - 4y' - 8y = e^x(x^3 - x^2 + x) \\ y(0) = -1 \\ y'(0) = 2 \end{cases} \] Решение: Будем искать решение в виде ряда Маклорена: \[ y(x) = y(0) + \frac{y'(0)}{1!}x + \frac{y''(0)}{2!}x^2 + \frac{y'''(0)}{3!}x^3 + \frac{y^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{y^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \dots \] Из условий имеем: \(y(0) = -1\), \(y'(0) = 2\). Выразим \(y''\) из уравнения: \[ y'' = 4y' + 8y + e^x(x^3 - x^2 + x) \] При \(x = 0\): \[ y''(0) = 4y'(0) + 8y(0) + e^0(0) = 4(2) + 8(-1) + 0 = 8 - 8 = 0 \] Дифференцируем уравнение: \[ y''' = 4y'' + 8y' + e^x(x^3 - x^2 + x) + e^x(3x^2 - 2x + 1) \] При \(x = 0\): \[ y'''(0) = 4(0) + 8(2) + 0 + 1(1) = 16 + 1 = 17 \] Дифференцируем еще раз: \[ y^{(4)} = 4y''' + 8y'' + e^x(x^3 - x^2 + x + 3x^2 - 2x + 1) + e^x(3x^2 - 2x + 1 + 6x - 2) \] При \(x = 0\): \[ y^{(4)}(0) = 4(17) + 8(0) + 1(1) + 1(1 - 2) = 68 + 1 - 1 = 68 \] Для \(y^{(5)}(0)\) продифференцируем упрощенную правую часть: \[ y^{(5)} = 4y^{(4)} + 8y''' + \frac{d}{dx}[e^x(x^3 + 2x^2 - x + 1 + 3x^2 + 4x - 1)] \] При \(x = 0\): \[ y^{(5)}(0) = 4(68) + 8(17) + \frac{d}{dx}[e^x(x^3 + 5x^2 + 3x)]_{x=0} = 272 + 136 + 3 = 411 \] Итоговый ряд: \[ y(x) = -1 + 2x + \frac{17}{6}x^3 + \frac{68}{24}x^4 + \frac{411}{120}x^5 = -1 + 2x + \frac{17}{6}x^3 + \frac{17}{6}x^4 + \frac{137}{40}x^5 \] Решение задачи №16 \[ \begin{cases} y'' + 4y' - 8y = \sin x \cdot (x^3 - x^2 + x) \\ y(0) = -1 \\ y'(0) = -2 \end{cases} \] Решение: \(y(0) = -1\), \(y'(0) = -2\). \[ y'' = -4y' + 8y + \sin x(x^3 - x^2 + x) \] При \(x = 0\): \[ y''(0) = -4(-2) + 8(-1) + 0 = 8 - 8 = 0 \] Дифференцируем: \[ y''' = -4y'' + 8y' + \cos x(x^3 - x^2 + x) + \sin x(3x^2 - 2x + 1) \] При \(x = 0\): \[ y'''(0) = -4(0) + 8(-2) + 1(0) + 0 = -16 \] Дифференцируем далее: \[ y^{(4)} = -4y''' + 8y'' + \frac{d}{dx}[\dots] \] При \(x = 0\) производная правой части (произведение функций) даст: \[ (\cos x \cdot P(x) + \sin x \cdot Q(x))' = -\sin x P + \cos x P' + \cos x Q + \sin x Q' \] При \(x = 0\) это равно \(P'(0) + Q(0)\). Здесь \(P(x) = x^3 - x^2 + x\), \(P'(0) = 1\). \(Q(x) = 3x^2 - 2x + 1\), \(Q(0) = 1\). \[ y^{(4)}(0) = -4(-16) + 8(0) + (1 + 1) = 64 + 2 = 66 \] Для \(y^{(5)}(0)\): \[ y^{(5)}(0) = -4(66) + 8(-16) + \frac{d^2}{dx^2}[\sin x \cdot P(x)]_{x=0} = -264 - 128 + (P''(0) - P(0) + 2Q'(0)) \] \(P''(0) = -2\), \(P(0) = 0\), \(Q'(0) = -2\). \[ y^{(5)}(0) = -392 + (-2 - 0 - 4) = -398 \] Ответ: \[ y(x) = -1 - 2x - \frac{16}{6}x^3 + \frac{66}{24}x^4 - \frac{398}{120}x^5 = -1 - 2x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{11}{4}x^4 - \frac{199}{60}x^5 \] Решение задачи №17 \[ \begin{cases} y'' - 14y' - 8y = \sin(x^2) \cdot (x^3 - x) \\ y(0) = 1 \\ y'(0) = 2 \end{cases} \] Решение: Заметим, что \(\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{6} + \dots\). Значит, правая часть начинается с \(x^2(x^3 - x) = x^5 - x^3\). \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 2\). \[ y'' = 14y' + 8y + \sin(x^2)(x^3 - x) \] \(y''(0) = 14(2) + 8(1) + 0 = 28 + 8 = 36\). \(y''' = 14y'' + 8y' + [\sin(x^2)(x^3 - x)]'\). При \(x=0\) производная равна 0. \(y'''(0) = 14(36) + 8(2) + 0 = 504 + 16 = 520\). \(y^{(4)} = 14y''' + 8y'' + [\sin(x^2)(x^3 - x)]''\). Вторая производная при \(x=0\) также 0. \(y^{(4)}(0) = 14(520) + 8(36) + 0 = 7280 + 288 = 7568\). \(y^{(5)} = 14y^{(4)} + 8y''' + [\sin(x^2)(x^3 - x)]'''\). Третья производная \((x^2 \cdot (-x))''' = (-x^3)''' = -6\). \(y^{(5)}(0) = 14(7568) + 8(520) - 6 = 105952 + 4160 - 6 = 110106\). Ответ: \[ y(x) = 1 + 2x + 18x^2 + \frac{520}{6}x^3 + \frac{7568}{24}x^4 + \frac{110106}{120}x^5 \] Решение задачи №18 \[ \begin{cases} y'' - 8y = x^3 - 2x^2 + x \\ y(2) = 3 \\ y'(2) = 2 \end{cases} \] Решение: Здесь центр ряда в точке \(a = 2\). Пусть \(t = x - 2\), тогда \(x = t + 2\). \[ y'' - 8y = (t+2)^3 - 2(t+2)^2 + (t+2) = t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 2(t^2 + 4t + 4) + t + 2 = t^3 + 4t^2 + 5t + 2 \] Условия: \(y(t=0) = 3\), \(y'(t=0) = 2\). \(y''(0) = 8y(0) + 2 = 8(3) + 2 = 26\). \(y''' = 8y' + 3t^2 + 8t + 5 \Rightarrow y'''(0) = 8(2) + 5 = 21\). \(y^{(4)} = 8y'' + 6t + 8 \Rightarrow y^{(4)}(0) = 8(26) + 8 = 208 + 8 = 216\). \(y^{(5)} = 8y''' + 6 \Rightarrow y^{(5)}(0) = 8(21) + 6 = 168 + 6 = 174\). Ответ: \[ y(x) = 3 + 2(x-2) + 13(x-2)^2 + \frac{21}{6}(x-2)^3 + \frac{216}{24}(x-2)^4 + \frac{174}{120}(x-2)^5 \] \[ y(x) = 3 + 2(x-2) + 13(x-2)^2 + 3.5(x-2)^3 + 9(x-2)^4 + 1.45(x-2)^5 \]