Решение примера: Упрощение выражения 6^m * 10^(m+1) / 15^(m-1)

Вот решение примера, записанное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Решение: Нам нужно упростить выражение: \[ \frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{15^{m-1}} \] Шаг 1: Разложим основания степеней на простые множители. \[ 6 = 2 \cdot 3 \] \[ 10 = 2 \cdot 5 \] \[ 15 = 3 \cdot 5 \] Шаг 2: Подставим эти разложения в исходное выражение. \[ \frac{(2 \cdot 3)^m \cdot (2 \cdot 5)^{m+1}}{(3 \cdot 5)^{m-1}} \] Шаг 3: Используем свойство степеней \((ab)^n = a^n b^n\). \[ \frac{2^m \cdot 3^m \cdot 2^{m+1} \cdot 5^{m+1}}{3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} \] Шаг 4: Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями в числителе. Используем свойство степеней \(a^n \cdot a^k = a^{n+k}\). \[ \frac{2^m \cdot 2^{m+1} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} = \frac{2^{m + (m+1)} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} \] \[ = \frac{2^{2m+1} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} \] Шаг 5: Разделим множители с одинаковыми основаниями. Используем свойство степеней \(\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}\). \[ 2^{2m+1} \cdot 3^{m - (m-1)} \cdot 5^{(m+1) - (m-1)} \] Шаг 6: Выполним вычитание показателей степеней. Для основания 3: \(m - (m-1) = m - m + 1 = 1\) Для основания 5: \((m+1) - (m-1) = m + 1 - m + 1 = 2\) Шаг 7: Запишем окончательный результат. \[ 2^{2m+1} \cdot 3^1 \cdot 5^2 \] \[ = 2^{2m+1} \cdot 3 \cdot 25 \] \[ = 75 \cdot 2^{2m+1} \] Ответ: \[ 75 \cdot 2^{2m+1} \]