Решение задания 'Проверь себя!' - Страница 88

Ниже представлено решение заданий из раздела «Проверь себя!» со страницы 88. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Проверь себя! Задание 1. Построить схематически график функции. 1) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^x\) Это показательная функция с основанием \(a = \frac{1}{5}\). Так как \(0 < \frac{1}{5} < 1\), функция является убывающей. График проходит через точку (0; 1) и приближается к оси \(Ox\), но не пересекает её. 2) \(y = 5^x\) Это показательная функция с основанием \(a = 5\). Так как \(5 > 1\), функция является возрастающей. График проходит через точку (0; 1) и резко уходит вверх при положительных \(x\). Задание 2. Сравнить числа. 1) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{0,2}\) и \(\left(\frac{1}{5}\right)^{1,2}\) Рассмотрим функцию \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^x\). Так как основание \(a = \frac{1}{5} < 1\), функция убывает. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как \(0,2 < 1,2\), то \(\left(\frac{1}{5}\right)^{0,2} > \left(\frac{1}{5}\right)^{1,2}\). 2) \(5^{-0,2}\) и \(5^{-1,2}\) Рассмотрим функцию \(y = 5^x\). Так как основание \(a = 5 > 1\), функция возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним показатели: \(-0,2 > -1,2\). Следовательно, \(5^{-0,2} > 5^{-1,2}\). Задание 3. Решить уравнение. 1) \(3^{x+1} = 27^{x-1}\) Приведем к одному основанию 3: \(3^{x+1} = (3^3)^{x-1}\) \(3^{x+1} = 3^{3x-3}\) Приравниваем показатели: \(x + 1 = 3x - 3\) \(1 + 3 = 3x - x\) \(4 = 2x\) \(x = 2\) Ответ: 2. 2) \(0,2^{x^2+4x-5} = 1\) Представим 1 как \(0,2^0\): \(0,2^{x^2+4x-5} = 0,2^0\) \(x^2 + 4x - 5 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -4\) \(x_1 \cdot x_2 = -5\) Корни: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 1\). Ответ: -5; 1. 3) \(2^{x+3} - 2^{x+1} = 12\) Вынесем общий множитель за скобки: \(2^{x+1} \cdot (2^2 - 1) = 12\) \(2^{x+1} \cdot (4 - 1) = 12\) \(2^{x+1} \cdot 3 = 12\) \(2^{x+1} = 4\) \(2^{x+1} = 2^2\) \(x + 1 = 2\) \(x = 1\) Ответ: 1. 4) \(4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0\) Пусть \(2^x = t\), где \(t > 0\). Тогда \(2^{2x} = t^2\). \(4t^2 - 5t + 1 = 0\) Находим дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9\) \(t_1 = \frac{5 + 3}{8} = 1\) \(t_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) Обратная замена: 1) \(2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x_1 = 0\) 2) \(2^x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2^x = 2^{-2} \Rightarrow x_2 = -2\) Ответ: -2; 0. Задание 4. Решить неравенство. 1) \(7^{x-2} > 49\) \(7^{x-2} > 7^2\) Так как основание \(7 > 1\), знак неравенства сохраняется: \(x - 2 > 2\) \(x > 4\) Ответ: \(x \in (4; +\infty)\). 2) \(0,5^{x^2-2} \ge \frac{1}{4}\) \(0,5^{x^2-2} \ge 0,5^2\) Так как основание \(0,5 < 1\), знак неравенства меняется на противоположный: \(x^2 - 2 \le 2\) \(x^2 \le 4\) \(|x| \le 2\) \(-2 \le x \le 2\) Ответ: \(x \in [-2; 2]\).