Решение задачи: Сравнение чисел в разных системах счисления

1) Сравните два числа:

Для сравнения чисел из разных систем счисления, переведем их все в десятичную систему счисления (10-ую СС).

а) \(113_8\) и \(1101100_2\)

• Переведем \(113_8\) в 10-ую СС:
\[1 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 1 \cdot 64 + 1 \cdot 8 + 3 \cdot 1 = 64 + 8 + 3 = 75_{10}\]
• Переведем \(1101100_2\) в 10-ую СС:
\[1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 64 + 32 + 8 + 4 = 108_{10}\]
• Сравнение: \(75_{10} < 108_{10}\)

Ответ: \(113_8 < 1101100_2\)

б) \(58_{16}\) и \(45_8\)

• Переведем \(58_{16}\) в 10-ую СС:
\[5 \cdot 16^1 + 8 \cdot 16^0 = 5 \cdot 16 + 8 \cdot 1 = 80 + 8 = 88_{10}\]
• Переведем \(45_8\) в 10-ую СС:
\[4 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 4 \cdot 8 + 5 \cdot 1 = 32 + 5 = 37_{10}\]
• Сравнение: \(88_{10} > 37_{10}\)

Ответ: \(58_{16} > 45_8\)

в) \(288_{16}\) и \(1050_{10}\)

• Переведем \(288_{16}\) в 10-ую СС:
\[2 \cdot 16^2 + 8 \cdot 16^1 + 8 \cdot 16^0 = 2 \cdot 256 + 8 \cdot 16 + 8 \cdot 1 = 512 + 128 + 8 = 648_{10}\]
• Сравнение: \(648_{10} < 1050_{10}\)

Ответ: \(288_{16} < 1050_{10}\)

г) \(1245_{10}\) и \(100111_2\)

• Переведем \(100111_2\) в 10-ую СС:
\[1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 32 + 4 + 2 + 1 = 39_{10}\]
• Сравнение: \(1245_{10} > 39_{10}\)

Ответ: \(1245_{10} > 100111_2\)

д) \(200_{10}\) и \(159_{16}\)

• Переведем \(159_{16}\) в 10-ую СС:
\[1 \cdot 16^2 + 5 \cdot 16^1 + 9 \cdot 16^0 = 1 \cdot 256 + 5 \cdot 16 + 9 \cdot 1 = 256 + 80 + 9 = 345_{10}\]
• Сравнение: \(200_{10} < 345_{10}\)

Ответ: \(200_{10} < 159_{16}\)

е) \(1111110_2\) и \(7F_{16}\)

• Переведем \(1111110_2\) в 10-ую СС:
\[1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126_{10}\]
• Переведем \(7F_{16}\) в 10-ую СС (F = 15):
\[7 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 7 \cdot 16 + 15 \cdot 1 = 112 + 15 = 127_{10}\]
• Сравнение: \(126_{10} < 127_{10}\)

Ответ: \(1111110_2 < 7F_{16}\)

2) Заполните таблицу

Заполним таблицу, переводя числа между системами счисления.

Строка 1: Дано \(10001110_2\)

• В 10-ую СС:
\[1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 142_{10}\]
• В 8-ую СС:
Группируем по 3 бита справа налево: \(010 \ 001 \ 110_2\). Добавляем ведущий ноль для первой группы. \(010_2 = 2_8\) \(001_2 = 1_8\) \(110_2 = 6_8\) Получаем \(216_8\).
• В 16-ую СС:
Группируем по 4 бита справа налево: \(1000 \ 1110_2\). \(1000_2 = 8_{16}\) \(1110_2 = E_{16}\) Получаем \(8E_{16}\).

Строка 2: Дано \(7546_8\)

• В 10-ую СС:
\[7 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 6 \cdot 8^0 = 7 \cdot 512 + 5 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 6 \cdot 1 = 3584 + 320 + 32 + 6 = 3942_{10}\]
• В 2-ую СС:
Каждую цифру 8-ой СС переводим в 3 бита: \(7_8 = 111_2\) \(5_8 = 101_2\) \(4_8 = 100_2\) \(6_8 = 110_2\) Получаем \(111101100110_2\).
• В 16-ую СС:
Сначала в 2-ую СС: \(111101100110_2\). Группируем по 4 бита справа налево: \(1111 \ 0110 \ 0110_2\). \(1111_2 = F_{16}\) \(0110_2 = 6_{16}\) \(0110_2 = 6_{16}\) Получаем \(F66_{16}\).

Строка 3: Дано \(1245_{10}\)

• В 2-ую СС:
Делим \(1245\) на 2: \(1245 / 2 = 622\) ост. \(1\) \(622 / 2 = 311\) ост. \(0\) \(311 / 2 = 155\) ост. \(1\) \(155 / 2 = 77\) ост. \(1\) \(77 / 2 = 38\) ост. \(1\) \(38 / 2 = 19\) ост. \(0\) \(19 / 2 = 9\) ост. \(1\) \(9 / 2 = 4\) ост. \(1\) \(4 / 2 = 2\) ост. \(0\) \(2 / 2 = 1\) ост. \(0\) \(1 / 2 = 0\) ост. \(1\) Читаем остатки снизу вверх: \(10011011101_2\).
• В 8-ую СС:
Делим \(1245\) на 8: \(1245 / 8 = 155\) ост. \(5\) \(155 / 8 = 19\) ост. \(3\) \(19 / 8 = 2\) ост. \(3\) \(2 / 8 = 0\) ост. \(2\) Читаем остатки снизу вверх: \(2335_8\).
• В 16-ую СС:
Делим \(1245\) на 16: \(1245 / 16 = 77\) ост. \(13\) (\(D_{16}\)) \(77 / 16 = 4\) ост. \(13\) (\(D_{16}\)) \(4 / 16 = 0\) ост. \(4\) Читаем остатки снизу вверх: \(4DD_{16}\).

Строка 4: Дано \(45F_{16}\)

• В 10-ую СС:
\[4 \cdot 16^2 + 5 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 4 \cdot 256 + 5 \cdot 16 + 15 \cdot 1 = 1024 + 80 + 15 = 1119_{10}\]
• В 2-ую СС:
Каждую цифру 16-ой СС переводим в 4 бита: \(4_{16} = 0100_2\) \(5_{16} = 0101_2\) \(F_{16} = 1111_2\) Получаем \(010001011111_2\), или \(10001011111_2\) (без ведущего нуля).
• В 8-ую СС:
Сначала в 2-ую СС: \(10001011111_2\). Группируем по 3 бита справа налево: \(001 \ 000 \ 101 \ 111_2\). Добавляем ведущие нули. \(001_2 = 1_8\) \(000_2 = 0_8\) \(101_2 = 5_8\) \(111_2 = 7_8\) Получаем \(1057_8\).

Заполненная таблица:

3) Решите примеры (ответ запишите в 10-ой СС):

а) \((B1_{16} - A2_{16}) \times (D9_{16} + 21_{16})\)

Переведем все числа в 10-ую СС:

• \(B1_{16} = 11 \cdot 16^1 + 1 \cdot 16^0 = 176 + 1 = 177_{10}\)
• \(A2_{16} = 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 = 160 + 2 = 162_{10}\)
• \(D9_{16} = 13 \cdot 16^1 + 9 \cdot 16^0 = 208 + 9 = 217_{10}\)
• \(21_{16} = 2 \cdot 16^1 + 1 \cdot 16^0 = 32 + 1 = 33_{10}\)

Выполним действия в 10-ой СС:

• \((177 - 162) \times (217 + 33)\)
• \(15 \times 250\)
• \(3750\)

Ответ: \(3750_{10}\)

б) \((454_8 \times 2_8) / (1016_8 + 341_8 - 227_8)\)

Переведем все числа в 10-ую СС:

• \(454_8 = 4 \cdot 8^2 + 5 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0 = 4 \cdot 64 + 5 \cdot 8 + 4 \cdot 1 = 256 + 40 + 4 = 300_{10}\)
• \(2_8 = 2_{10}\)
• \(1016_8 = 1 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 6 \cdot 8^0 = 1 \cdot 512 + 0 \cdot 64 + 1 \cdot 8 + 6 \cdot 1 = 512 + 8 + 6 = 526_{10}\)
• \(341_8 = 3 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 1 \cdot 1 = 192 + 32 + 1 = 225_{10}\)
• \(227_8 = 2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 7 \cdot 8^0 = 2 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 7 \cdot 1 = 128 + 16 + 7 = 151_{10}\)

Выполним действия в 10-ой СС:

• \((300 \times 2) / (526 + 225 - 151)\)
• \(600 / (751 - 151)\)
• \(600 / 600\)
• \(1\)

Ответ: \(1_{10}\)

в) \(22B_{16} / F_{16} - (15_8 + 25_8)\)

Переведем все числа в 10-ую СС:

• \(22B_{16} = 2 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 11 \cdot 16^0 = 2 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 11 \cdot 1 = 512 + 32 + 11 = 555_{10}\)
• \(F_{16} = 15_{10}\)
• \(15_8 = 1 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 8 + 5 = 13_{10}\)
• \(25_8 = 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 16 + 5 = 21_{10}\)

Выполним действия в 10-ой СС:

• \(555 / 15 - (13 + 21)\)
• \(37 - 34\)
• \(3\)

Ответ: \(3_{10}\)

4) Поставьте числа в порядке возрастания:

\(100111_2\), \(4AC_{16}\), \(1300_{10}\), \(1357_8\)

Переведем все числа в 10-ую СС:

• \(100111_2 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 4 + 2 + 1 = 39_{10}\)
• \(4AC_{16} = 4 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 12 \cdot 16^0 = 4 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 12 \cdot 1 = 1024 + 160 + 12 = 1196_{10}\)
• \(1300_{10}\) (уже в 10-ой СС)
• \(1357_8 = 1 \cdot 8^3 + 3 \cdot 8^2 + 5 \cdot 8^1 + 7 \cdot 8^0 = 1 \cdot 512 + 3 \cdot 64 + 5 \cdot 8 + 7 \cdot 1 = 512 + 192 + 40 + 7 = 751_{10}\)

Теперь у нас есть числа в 10-ой СС: \(39, 1196, 1300, 751\).

Расположим их в порядке возрастания:

\(39, 751, 1196, 1300\)

Вернемся к исходным системам счисления:

\(100111_2, 1357_8, 4AC_{16}, 1300_{10}\)

Ответ: \(100111_2, 1357_8, 4AC_{16}, 1300_{10}\)

5) Решите задачу (ответ запишите в 10-ой СС):

В 10^А и 10^Б классах девочек \(1110_2\). Сколько мальчиков, если всего \(18_{16}\) человек?

Переведем все числа в 10-ую СС:

• Количество девочек: \(1110_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14_{10}\) девочек.
• Общее количество человек: \(18_{16} = 1 \cdot 16^1 + 8 \cdot 16^0 = 16 + 8 = 24_{10}\) человека.

Чтобы найти количество мальчиков, нужно из общего количества человек вычесть количество девочек:

Количество мальчиков = Общее количество человек - Количество девочек

Количество мальчиков = \(24_{10} - 14_{10} = 10_{10}\)

Ответ: \(10_{10}\) мальчиков.