Решение задачи: Объяснение условия a < -1

Для того чтобы понять, почему получилось условие \( a < -1 \), нужно разобрать решение квадратного неравенства из шага 5 более подробно. Мы рассматривали условие \( f(1) > 0 \), которое приняло вид: \[ 4a^2 - 5a - 9 > 0 \] 1. Сначала мы нашли корни соответствующего уравнения \( 4a^2 - 5a - 9 = 0 \). Это значения \( a_1 = 2,25 \) и \( a_2 = -1 \). 2. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: - Интервал \( (-\infty; -1) \) - Интервал \( (-1; 2,25) \) - Интервал \( (2,25; +\infty) \) 3. Так как график функции \( y = 4a^2 - 5a - 9 \) — это парабола ветвями вверх, то значения функции будут положительными (больше нуля) на "крайних" интервалах и отрицательными между корнями. - Если мы возьмем число из интервала \( (-1; 2,25) \), например \( a = 0 \), и подставим в выражение: \( 4(0)^2 - 5(0) - 9 = -9 \). Это меньше нуля, значит, этот интервал нам не подходит. - Если мы возьмем число меньше \( -1 \), например \( a = -2 \): \( 4(-2)^2 - 5(-2) - 9 = 16 + 10 - 9 = 17 \). Это больше нуля, условие выполняется. Следовательно, неравенство \( 4a^2 - 5a - 9 > 0 \) верно при \( a < -1 \) или \( a > 2,25 \). 4. Теперь вернемся к системе условий. У нас было еще одно важное ограничение из шага 4: вершина параболы должна быть левее единицы, то есть \( a < 0,5 \). - Условие \( a > 2,25 \) полностью противоречит условию \( a < 0,5 \), поэтому мы его отбрасываем. - Условие \( a < -1 \) прекрасно согласуется с \( a < 0,5 \). Именно поэтому в итоговый ответ вошел только промежуток, где \( a < -1 \). Это гарантирует, что парабола в точке \( x=1 \) уже "улетела" выше оси \( OX \), а значит, оба её корня остались слева от единицы.