Решение задачи: Параметр a, корни уравнения в промежутке (1; 4)

Задание: При каких значениях параметра \( a \) все корни уравнения \( x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0 \) принадлежат промежутку \( (1; 4) \)? Решение: 1. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0 \). Заметим, что уравнение можно решить через дискриминант или разложением на множители. Воспользуемся теоремой Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2a + 3 \\ x_1 \cdot x_2 = 6a \end{cases} \] Легко заметить, что корнями являются: \[ x_1 = 2a, \quad x_2 = 3 \] 2. По условию задачи все корни должны принадлежать интервалу \( (1; 4) \). Это означает, что оба корня должны удовлетворять двойному неравенству \( 1 < x < 4 \). Проверим корень \( x_2 = 3 \): \[ 1 < 3 < 4 \] Это условие выполняется всегда, так как число 3 всегда находится внутри интервала \( (1; 4) \). 3. Теперь составим и решим неравенство для корня \( x_1 = 2a \): \[ 1 < 2a < 4 \] Разделим все части неравенства на 2: \[ \frac{1}{2} < a < \frac{4}{2} \] \[ 0,5 < a < 2 \] 4. Важное уточнение: в задаче сказано "все корни". Если корни совпадают (\( x_1 = x_2 \)), то корень один, и он также должен быть в интервале. Найдем значение \( a \), при котором корни совпадают: \[ 2a = 3 \Rightarrow a = 1,5 \] Так как \( 1,5 \) входит в найденный промежуток \( (0,5; 2) \), то при этом значении корень \( x = 3 \) будет единственным и он принадлежит \( (1; 4) \). Таким образом, условие выполняется при \( a \in (0,5; 2) \). Ответ: \( a \in (0,5; 2) \).