Решение задачи: При каких значениях a корни уравнения принадлежат (1;4)?

Решение задачи через дискриминант и свойства квадратичной функции. Дано уравнение: \[ x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0 \] Чтобы все корни квадратного уравнения \( f(x) = x^2 + bx + c = 0 \) принадлежали интервалу \( (m; n) \), должна выполняться следующая система условий: 1. Дискриминант \( D \geq 0 \) (наличие корней). 2. Вершина параболы \( x_0 \) находится внутри интервала: \( m < x_0 < n \). 3. Значения функции на концах интервала положительны (так как ветви параболы направлены вверх): \( f(m) > 0 \) и \( f(n) > 0 \). В нашем случае \( f(x) = x^2 - (2a + 3)x + 6a \), интервал \( (1; 4) \), то есть \( m = 1, n = 4 \). 1. Найдем дискриминант: \[ D = (-(2a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6a \] \[ D = 4a^2 + 12a + 9 - 24a \] \[ D = 4a^2 - 12a + 9 \] Заметим, что это полный квадрат: \[ D = (2a - 3)^2 \] Так как любое число в квадрате неотрицательно, \( D \geq 0 \) выполняется при любых \( a \). 2. Координата вершины параболы \( x_0 \): \[ x_0 = \frac{-b}{2a_{coeff}} = \frac{2a + 3}{2} \] Условие \( 1 < x_0 < 4 \): \[ 1 < \frac{2a + 3}{2} < 4 \] Умножим на 2: \[ 2 < 2a + 3 < 8 \] Вычтем 3: \[ -1 < 2a < 5 \] Разделим на 2: \[ -0,5 < a < 2,5 \] 3. Значения функции на концах интервала: Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - (2a + 3) \cdot 1 + 6a > 0 \] \[ 1 - 2a - 3 + 6a > 0 \] \[ 4a - 2 > 0 \] \[ 4a > 2 \Rightarrow a > 0,5 \] Для \( x = 4 \): \[ f(4) = 4^2 - (2a + 3) \cdot 4 + 6a > 0 \] \[ 16 - 8a - 12 + 6a > 0 \] \[ 4 - 2a > 0 \] \[ -2a > -4 \Rightarrow a < 2 \] 4. Объединим все условия в систему: \[ \begin{cases} a \in \mathbb{R} \\ -0,5 < a < 2,5 \\ a > 0,5 \\ a < 2 \end{cases} \] Пересечением всех промежутков является интервал: \[ 0,5 < a < 2 \] Ответ: \( a \in (0,5; 2) \).