Решение задачи по векторам AC + CB и AC - AB

Задача №1 Дано: \[ A(-3; -1), B(1; -4), C(6; 8) \] Найти: Координаты и длину векторов: \[ \vec{a} = \vec{AC} + \vec{CB} \] \[ \vec{b} = \vec{AC} - \vec{AB} \] Решение: 1) Найдем координаты векторов \( \vec{AC} \), \( \vec{CB} \) и \( \vec{AB} \). Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. \[ \vec{AC} = \{6 - (-3); 8 - (-1)\} = \{6 + 3; 8 + 1\} = \{9; 9\} \] \[ \vec{CB} = \{1 - 6; -4 - 8\} = \{-5; -12\} \] \[ \vec{AB} = \{1 - (-3); -4 - (-1)\} = \{1 + 3; -4 + 1\} = \{4; -3\} \] 2) Найдем координаты и длину вектора \( \vec{a} \): По правилу сложения векторов \( \vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB} \). Проверим это через координаты: \[ \vec{a} = \{9 + (-5); 9 + (-12)\} = \{4; -3\} \] Длина вектора \( \vec{a} \) (модуль вектора) вычисляется по формуле \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \): \[ |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 3) Найдем координаты и длину вектора \( \vec{b} \): \[ \vec{b} = \vec{AC} - \vec{AB} = \{9 - 4; 9 - (-3)\} = \{5; 9 + 3\} = \{5; 12\} \] Длина вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Ответ: \[ \vec{a} \{4; -3\}, |\vec{a}| = 5 \] \[ \vec{b} \{5; 12\}, |\vec{b}| = 13 \]