Решение: Реши задачу: Решить Реши задачу: Решить

Вариант 9. Решение задач с векторами. Даны векторы: \(\vec{a} = \{-2; 3; 1\}\) и \(\vec{b} = \{5; 0; -1\}\). 1) Найти скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) и длины векторов \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\): Скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = (-2) \cdot 5 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = -10 + 0 - 1 = -11 \] Длины векторов: \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 0 + 1} = \sqrt{26} \] 2) Найти векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\): \[ \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & -1 \end{array} \right| = \vec{i} \cdot (3 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \vec{j} \cdot ((-2) \cdot (-1) - 5 \cdot 1) + \vec{k} \cdot ((-2) \cdot 0 - 5 \cdot 3) \] \[ = \vec{i} \cdot (-3) - \vec{j} \cdot (2 - 5) + \vec{k} \cdot (-15) = -3\vec{i} + 3\vec{j} - 15\vec{k} \] Ответ: \(\{-3; 3; -15\}\). 3) Найти скалярное произведение \((4\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})\): Сначала найдем координаты новых векторов: \[ 4\vec{a} + 3\vec{b} = 4\{-2; 3; 1\} + 3\{5; 0; -1\} = \{-8; 12; 4\} + \{15; 0; -3\} = \{7; 12; 1\} \] \[ \vec{b} - \vec{a} = \{5 - (-2); 0 - 3; -1 - 1\} = \{7; -3; -2\} \] Теперь их скалярное произведение: \[ (4\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 7 \cdot 7 + 12 \cdot (-3) + 1 \cdot (-2) = 49 - 36 - 2 = 11 \] 4) Найти векторное произведение \((4\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{a})\): Используем свойства векторного произведения (\(\vec{a} \times \vec{a} = 0\) и \(\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}\)): \[ (4\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{a}) = 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{a} \times \vec{a}) + 3(\vec{b} \times \vec{b}) - 3(\vec{b} \times \vec{a}) \] \[ = 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 + 0 + 3(\vec{a} \times \vec{b}) = 7(\vec{a} \times \vec{b}) \] Подставим результат из пункта 2: \[ 7 \cdot \{-3; 3; -15\} = \{-21; 21; -105\} \] 5) Найти площадь треугольника, построенного на векторах \((4\vec{a} + 3\vec{b})\) и \((\vec{b} - \vec{a})\): Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения этих векторов: \[ S = \frac{1}{2} |(4\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{a})| \] Используем результат пункта 4: \[ S = \frac{1}{2} \sqrt{(-21)^2 + 21^2 + (-105)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{441 + 441 + 11025} = \frac{1}{2} \sqrt{11907} \] Вынесем множители из-под корня (\(11907 = 49 \cdot 243 = 49 \cdot 81 \cdot 3\)): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \sqrt{3} = \frac{63\sqrt{3}}{2} = 31,5\sqrt{3} \]