Решение СЛАУ матричным методом - Вариант 33

Вариант 33 Решить СЛАУ матричным методом: \[ \begin{cases} x_1 - 3x_2 + x_3 = -1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ -2x_1 + x_2 + 9x_3 = 8 \end{cases} \] Решение: 1) Запишем систему в матричном виде \( AX = B \), где: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 9 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \] 2) Найдем определитель матрицы \( A \): \[ \Delta = |A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 9 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 1 \cdot (-9 - 1) + 3 \cdot (18 + 2) + 1 \cdot (2 - 2) = -10 + 60 + 0 = 50 \] Так как \( \Delta \neq 0 \), матрица \( A \) имеет обратную. 3) Найдем алгебраические дополнения \( A_{ij} \): \[ A_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} = -10; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 9 \end{vmatrix} = -20; \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \] \[ A_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} = 28; \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 9 \end{vmatrix} = 11; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \] \[ A_{31} = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 5 \] 4) Составим обратную матрицу \( A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot A^T_{alg} \): \[ A^{-1} = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} -10 & 28 & -2 \\ -20 & 11 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \] 5) Находим решение по формуле \( X = A^{-1} \cdot B \): \[ X = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} -10 & 28 & -2 \\ -20 & 11 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} 10 + 56 - 16 \\ 20 + 22 + 8 \\ 0 + 10 + 40 \end{pmatrix} \] \[ X = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} 50 \\ 50 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1 \).