Решение задачи с векторами: вычисление скалярного и векторного произведения

Вариант 12. Решение задач с векторами. Даны векторы: \( \vec{a} = \{2; -3; 0\} \) и \( \vec{b} = \{5; 2; 1\} \). 1) Найдем скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) и длины векторов \( |\vec{a}|, |\vec{b}| \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 10 - 6 + 0 = 4 \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30} \] 2) Найдем векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} \): \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \vec{i}(-3 - 0) - \vec{j}(2 - 0) + \vec{k}(4 - (-15)) = -3\vec{i} - 2\vec{j} + 19\vec{k} \] Результат: \( \{-3; -2; 19\} \). 3) Найдем скалярное произведение \( (4\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{a}) \): Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: \[ (4\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{a}) = 4\vec{a}\vec{b} - 12\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 3\vec{b}\vec{a} = \vec{a}\vec{b} - 12|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \] Подставим ранее найденные значения: \[ = 4 - 12 \cdot (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{30})^2 = 4 - 12 \cdot 13 + 30 = 4 - 156 + 30 = -122 \] 4) Найдем векторное произведение \( (4\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{b} - 3\vec{a}) \): Используем свойства векторного произведения (\( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \) и \( \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \)): \[ (4\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{b} - 3\vec{a}) = 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 12(\vec{a} \times \vec{a}) + (\vec{b} \times \vec{b}) - 3(\vec{b} \times \vec{a}) \] \[ = 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 + 0 + 3(\vec{a} \times \vec{b}) = 7(\vec{a} \times \vec{b}) \] Подставим результат из пункта 2: \[ 7 \cdot \{-3; -2; 19\} = \{-21; -14; 133\} \] 5) Найдем площадь треугольника, построенного на векторах \( (4\vec{a} + \vec{b}) \) и \( (\vec{b} - 3\vec{a}) \): Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения этих векторов: \[ S = \frac{1}{2} |(4\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{b} - 3\vec{a})| = \frac{1}{2} |\{-21; -14; 133\}| \] \[ S = \frac{1}{2} \sqrt{(-21)^2 + (-14)^2 + 133^2} = \frac{1}{2} \sqrt{441 + 196 + 17689} = \frac{1}{2} \sqrt{18326} \] \[ S = \frac{\sqrt{18326}}{2} \approx 67.69 \]