Решение задачи по аналитической геометрии

Вариант 9. Решение задач по аналитической геометрии. №1. Даны точки \(A(1; 3)\), \(B(-1; 4)\) и прямые \(l_1: 5x + 2y - 4 = 0\), \(l_2: 2x + 3y + 5 = 0\). 1) Уравнение прямой \(AB\): Используем формулу \(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\): \[ \frac{x - 1}{-1 - 1} = \frac{y - 3}{4 - 3} \Rightarrow \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 3}{1} \] \[ x - 1 = -2y + 6 \Rightarrow x + 2y - 7 = 0 \] 2) Координаты точки \(M\) (пересечение \(l_1\) и \(l_2\)): Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x + 2y = 4 \\ 2x + 3y = -5 \end{cases} \] Умножим первое на 3, второе на -2: \[ \begin{cases} 15x + 6y = 12 \\ -4x - 6y = 10 \end{cases} \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x = 2 \] Подставим \(x=2\) в первое: \(10 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3\). Точка \(M(2; -3)\). 3) Уравнение прямой через \(M\) параллельно \(AB\): Вектор \(\vec{AB} = \{-2; 1\}\). Уравнение прямой: \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y + 3}{1} \Rightarrow x - 2 = -2y - 6 \Rightarrow x + 2y + 4 = 0 \] 4) Угол между \(l_1\) и \(l_2\): Нормальные векторы \(\vec{n_1} = \{5; 2\}\), \(\vec{n_2} = \{2; 3\}\). \[ \cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|5 \cdot 2 + 2 \cdot 3|}{\sqrt{25+4} \cdot \sqrt{4+9}} = \frac{16}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{13}} = \frac{16}{\sqrt{377}} \] \[ \phi = \arccos\left(\frac{16}{\sqrt{377}}\right) \] 5) Расстояние от \(A(1; 3)\) до \(l_1: 5x + 2y - 4 = 0\): \[ d = \frac{|5 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{5^2 + 2^2}} = \frac{|5 + 6 - 4|}{\sqrt{29}} = \frac{7}{\sqrt{29}} \] №2. Дано уравнение прямой \(L\) и плоскости \(\alpha\). \[ L: \begin{cases} 2x + y - 3z - 7 = 0 \\ x - y + 2z - 5 = 0 \end{cases}, \quad \alpha: 2x + 3y - 4z + 6 = 0 \] 1) Координаты точки \(M\) пересечения \(L\) и \(\alpha\): Сложим уравнения прямой: \(3x - z - 12 = 0 \Rightarrow z = 3x - 12\). Из второго уравнения: \(y = x + 2z - 5 = x + 2(3x - 12) - 5 = 7x - 29\). Подставим в уравнение плоскости \(\alpha\): \[ 2x + 3(7x - 29) - 4(3x - 12) + 6 = 0 \] \[ 2x + 21x - 87 - 12x + 48 + 6 = 0 \Rightarrow 11x = 33 \Rightarrow x = 3 \] Тогда \(y = 7(3) - 29 = -8\), \(z = 3(3) - 12 = -3\). Точка \(M(3; -8; -3)\). 2) Угол между прямой \(L\) и плоскостью \(\alpha\): Направляющий вектор прямой \(\vec{s} = \vec{n_{L1}} \times \vec{n_{L2}}\): \[ \vec{s} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right| = \vec{i}(2-3) - \vec{j}(4+3) + \vec{k}(-2-1) = \{-1; -7; -3\} \] Нормаль плоскости \(\vec{n} = \{2; 3; -4\}\). \[ \sin \theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-2 - 21 + 12|}{\sqrt{1+49+9} \cdot \sqrt{4+9+16}} = \frac{11}{\sqrt{59} \cdot \sqrt{29}} = \frac{11}{\sqrt{1711}} \] \[ \theta = \arcsin\left(\frac{11}{\sqrt{1711}}\right) \] 3) Уравнение плоскости через \(B\) перпендикулярно \(L\): Пусть \(B\) — это точка \(M(3; -8; -3)\) (в условии не даны координаты \(B\) для №2, обычно берется точка пересечения или заданная точка). Если \(B\) задана отдельно, подставьте её координаты. Вектор нормали искомой плоскости совпадает с \(\vec{s} = \{-1; -7; -3\}\): \[ -1(x - x_B) - 7(y - y_B) - 3(z - z_B) = 0 \] 4) Уравнение плоскости через прямую \(L\) и точку \(\alpha\) (вероятно, имеется в виду через \(L\) перпендикулярно \(\alpha\)): Используем пучок плоскостей: \(2x + y - 3z - 7 + \lambda(x - y + 2z - 5) = 0\). \((2+\lambda)x + (1-\lambda)y + (-3+2\lambda)z + (-7-5\lambda) = 0\). Условие перпендикулярности к \(\alpha\): \(2(2+\lambda) + 3(1-\lambda) - 4(-3+2\lambda) = 0\). \(4 + 2\lambda + 3 - 3\lambda + 12 - 8\lambda = 0 \Rightarrow -9\lambda = -19 \Rightarrow \lambda = \frac{19}{9}\). Подставьте \(\lambda\) в уравнение пучка для получения итогового уравнения.