Решение задачи по аналитической геометрии

Вариант 4. Решение задач по аналитической геометрии. №1. Даны точки \( A(-1; 2) \), \( B(3; 1) \) и прямые \( l_1: 3x - y - 6 = 0 \), \( l_2: x - 2y - 2 = 0 \). 1) Уравнение прямой \( AB \): Используем формулу прямой, проходящей через две точки: \[ \frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} \Rightarrow \frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 2}{1 - 2} \] \[ \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{-1} \Rightarrow -(x + 1) = 4(y - 2) \Rightarrow -x - 1 = 4y - 8 \] \[ x + 4y - 7 = 0 \] 2) Координаты точки \( M \) пересечения \( l_1 \) и \( l_2 \): Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x - y = 6 \\ x - 2y = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3x - 6 \\ x - 2(3x - 6) = 2 \end{cases} \Rightarrow x - 6x + 12 = 2 \Rightarrow -5x = -10 \Rightarrow x = 2 \] Подставим \( x \): \( y = 3(2) - 6 = 0 \). Точка \( M(2; 0) \). 3) Уравнение прямой через \( M \) параллельно \( AB \): У параллельных прямых коэффициенты при \( x \) и \( y \) одинаковы: \( x + 4y + C = 0 \). Подставим точку \( M(2; 0) \): \( 2 + 4(0) + C = 0 \Rightarrow C = -2 \). Уравнение: \( x + 4y - 2 = 0 \). 4) Угол между \( l_1 \) и \( l_2 \): Нормальные векторы: \( \vec{n_1} = \{3; -1\} \), \( \vec{n_2} = \{1; -2\} \). \[ \cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Угол \( \phi = 45^\circ \). 5) Расстояние от точки \( A(-1; 2) \) до прямой \( l_1 \): \[ d = \frac{|3(-1) - 2 - 6|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-11|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}} \approx 3.48 \] №2. Даны прямая \( L \) и плоскость \( \alpha: 7x - y + z + 7 = 0 \). 1) Точка \( M \) пересечения \( L \) и \( \alpha \): Сложим уравнения прямой \( L \): \( (7x - 2y + z - 4) + (3x + y - z + 3) = 0 \Rightarrow 10x - y - 1 = 0 \Rightarrow y = 10x - 1 \). Из второго уравнения \( L \): \( z = 3x + y + 3 = 3x + (10x - 1) + 3 = 13x + 2 \). Подставим в уравнение \( \alpha \): \[ 7x - (10x - 1) + (13x + 2) + 7 = 0 \Rightarrow 7x - 10x + 1 + 13x + 2 + 7 = 0 \Rightarrow 10x = -10 \Rightarrow x = -1 \] Тогда \( y = 10(-1) - 1 = -11 \), \( z = 13(-1) + 2 = -11 \). Точка \( M(-1; -11; -11) \). 2) Угол между прямой и плоскостью: Направляющий вектор прямой \( \vec{s} = \vec{n_{L1}} \times \vec{n_{L2}} \): \[ \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-1) - \vec{j}(-7-3) + \vec{k}(7+6) = \{1; 10; 13\} \] Нормаль плоскости \( \vec{n_\alpha} = \{7; -1; 1\} \). \[ \sin \theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n_\alpha}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n_\alpha}|} = \frac{|1 \cdot 7 + 10 \cdot (-1) + 13 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 10^2 + 13^2} \cdot \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{10}{\sqrt{270} \cdot \sqrt{51}} \approx 0.085 \] 3) Уравнение плоскости \( \beta \): Плоскость проходит через \( L \), значит принадлежит пучку: \( (7x - 2y + z - 4) + \lambda(3x + y - z + 3) = 0 \). Группируем: \( (7+3\lambda)x + (-2+\lambda)y + (1-\lambda)z + (-4+3\lambda) = 0 \). Условие перпендикулярности \( \alpha \) и \( \beta \) (\( \vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_\beta} = 0 \)): \[ 7(7+3\lambda) - 1(-2+\lambda) + 1(1-\lambda) = 0 \Rightarrow 49 + 21\lambda + 2 - \lambda + 1 - \lambda = 0 \] \[ 19\lambda = -52 \Rightarrow \lambda = -\frac{52}{19} \] Подставив \( \lambda \) в уравнение пучка и упростив, получим искомое уравнение плоскости \( \beta \).