Решение задачи Коши степенным рядом до x^5

Решение задачи 15. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда до \(x^5\): \[ \begin{cases} y'' - 4y' - 8y = e^x(x^3 - x^2 + x) \\ y(0) = -1 \\ y'(0) = 2 \end{cases} \] Решение: Ищем решение в виде ряда Маклорена: \[ y(x) = y(0) + \frac{y'(0)}{1!}x + \frac{y''(0)}{2!}x^2 + \frac{y'''(0)}{3!}x^3 + \frac{y^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{y^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \dots \] Нам дано: \(y(0) = -1\), \(y'(0) = 2\). Выразим \(y''\) из уравнения: \[ y'' = 4y' + 8y + e^x(x^3 - x^2 + x) \] При \(x = 0\): \[ y''(0) = 4y'(0) + 8y(0) + e^0(0 - 0 + 0) = 4(2) + 8(-1) + 0 = 8 - 8 = 0 \] Дифференцируем уравнение: \[ y''' = 4y'' + 8y' + e^x(x^3 - x^2 + x) + e^x(3x^2 - 2x + 1) \] При \(x = 0\): \[ y'''(0) = 4(0) + 8(2) + 1(0) + 1(1) = 16 + 1 = 17 \] Дифференцируем еще раз: \[ y^{(4)} = 4y''' + 8y'' + e^x(x^3 - x^2 + x + 3x^2 - 2x + 1) + e^x(3x^2 - 2x + 1 + 6x - 2) \] При \(x = 0\): \[ y^{(4)}(0) = 4(17) + 8(0) + 1(1) + 1(1 - 2) = 68 + 1 - 1 = 68 \] Дифференцируем для \(y^{(5)}\): \[ y^{(5)} = 4y^{(4)} + 8y''' + \dots \] При \(x = 0\) (заметим, что производные правой части в нуле будут давать вклад от младших степеней): \[ y^{(5)}(0) = 4(68) + 8(17) + (e^x \cdot P(x))'|_{x=0} \] Производная правой части \(f(x) = e^x(x^3 + 2x^2 - x + 1)\) в нуле: \(f'(0) = 1(1) + 1(-1) = 0\). \[ y^{(5)}(0) = 272 + 136 + 0 = 408 \] Итоговый ряд: \[ y(x) = -1 + 2x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{17}{6}x^3 + \frac{68}{24}x^4 + \frac{408}{120}x^5 \] \[ y(x) = -1 + 2x + \frac{17}{6}x^3 + \frac{17}{6}x^4 + \frac{17}{5}x^5 \] Решение задачи 16. \[ \begin{cases} y'' + 4y' - 8y = \sin x \cdot (x^3 - x^2 + x) \\ y(0) = -1 \\ y'(0) = -2 \end{cases} \] Решение: \(y(0) = -1\), \(y'(0) = -2\). \[ y'' = -4y' + 8y + \sin x(x^3 - x^2 + x) \] \(y''(0) = -4(-2) + 8(-1) + 0 = 8 - 8 = 0\). Дифференцируем: \[ y''' = -4y'' + 8y' + \cos x(x^3 - x^2 + x) + \sin x(3x^2 - 2x + 1) \] \(y'''(0) = -4(0) + 8(-2) + 1(0) + 0 = -16\). \[ y^{(4)} = -4y''' + 8y'' + f''(0) \], где \(f(x) = \sin x(x^3 - x^2 + x)\). \(f'(0) = 0\), \(f''(0) = 2 \cdot \cos(0) \cdot 1 = 2\). \(y^{(4)}(0) = -4(-16) + 8(0) + 2 = 64 + 2 = 66\). \[ y^{(5)}(0) = -4(66) + 8(-16) + f'''(0) \). \(f'''(0) = 3 \cdot \cos(0) \cdot (-2) = -6\). \(y^{(5)}(0) = -264 - 128 - 6 = -398\). Ответ: \[ y(x) = -1 - 2x - \frac{16}{6}x^3 + \frac{66}{24}x^4 - \frac{398}{120}x^5 \] \[ y(x) = -1 - 2x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{11}{4}x^4 - \frac{199}{60}x^5 \] Решение задачи 17. \[ \begin{cases} y'' - 14y' - 8y = \sin(x^2) \cdot (x^3 - x) \\ y(0) = 1 \\ y'(0) = 2 \end{cases} \] Решение: \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 2\). Правая часть \(f(x) = \sin(x^2)(x^3 - x)\) имеет первый ненулевой член порядка \(x^2 \cdot (-x) = -x^3\). Значит \(f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=-6\). \[ y'' = 14y' + 8y + f(x) \Rightarrow y''(0) = 14(2) + 8(1) + 0 = 36 \] \[ y''' = 14y'' + 8y' + f'(0) \Rightarrow y'''(0) = 14(36) + 8(2) + 0 = 504 + 16 = 520 \] \[ y^{(4)} = 14y''' + 8y'' + f''(0) \Rightarrow y^{(4)}(0) = 14(520) + 8(36) + 0 = 7280 + 288 = 7568 \] \[ y^{(5)} = 14y^{(4)} + 8y''' + f'''(0) \Rightarrow y^{(5)}(0) = 14(7568) + 8(520) - 6 = 105952 + 4160 - 6 = 110106 \] Ответ: \[ y(x) = 1 + 2x + 18x^2 + \frac{520}{6}x^3 + \frac{7568}{24}x^4 + \frac{110106}{120}x^5 \] Решение задачи 18. \[ \begin{cases} y'' - 8y = x^3 - 2x^2 + x \\ y(2) = 3 \\ y'(2) = 2 \end{cases} \] Здесь разложение по степеням \((x-2)\). Пусть \(t = x-2\), тогда \(x = t+2\). \[ y'' - 8y = (t+2)^3 - 2(t+2)^2 + (t+2) = t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 2(t^2 + 4t + 4) + t + 2 = t^3 + 4t^2 + 5t + 2 \] \(y(0) = 3, y'(0) = 2\) (в терминах \(t\)). \[ y''(0) = 8y(0) + 2 = 8(3) + 2 = 26 \] \[ y'''(0) = 8y'(0) + 5 = 8(2) + 5 = 21 \] \[ y^{(4)}(0) = 8y''(0) + 8 = 8(26) + 8 = 216 \] \[ y^{(5)}(0) = 8y'''(0) + 6 = 8(21) + 6 = 174 \] Ответ: \[ y(x) = 3 + 2(x-2) + 13(x-2)^2 + \frac{21}{6}(x-2)^3 + \frac{216}{24}(x-2)^4 + \frac{174}{120}(x-2)^5 \] \[ y(x) = 3 + 2(x-2) + 13(x-2)^2 + 3.5(x-2)^3 + 9(x-2)^4 + 1.45(x-2)^5 \]