Решение неравенства √24 - 10x + x² > x - 4

Задание 6. Решить неравенство: \[ \sqrt{24 - 10x + x^2} > x - 4 \] Решение: Данное иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно совокупности двух систем неравенств: 1) Случай, когда правая часть отрицательна (тогда корень всегда больше неё при условии своего существования): \[ \begin{cases} x - 4 < 0 \\ 24 - 10x + x^2 \ge 0 \end{cases} \] 2) Случай, когда правая часть неотрицательна (тогда можно возвести обе части в квадрат): \[ \begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 24 - 10x + x^2 > (x - 4)^2 \end{cases} \] Решим первую систему: \[ \begin{cases} x < 4 \\ x^2 - 10x + 24 \ge 0 \end{cases} \] Корни уравнения \( x^2 - 10x + 24 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = 6 \). Следовательно, \( (x-4)(x-6) \ge 0 \), что дает \( x \in (-\infty; 4] \cup [6; +\infty) \). С учетом условия \( x < 4 \), получаем решение первой системы: \( x \in (-\infty; 4) \). Решим вторую систему: \[ \begin{cases} x \ge 4 \\ 24 - 10x + x^2 > x^2 - 8x + 16 \end{cases} \] Упростим второе неравенство: \[ 24 - 10x > -8x + 16 \] \[ -2x > -8 \] \[ x < 4 \] Система принимает вид: \[ \begin{cases} x \ge 4 \\ x < 4 \end{cases} \] Данная система решений не имеет (пустое множество). Объединяя результаты двух систем, получаем: \( x \in (-\infty; 4) \). Чертеж на оси x: Нарисуем числовую прямую. Отметим точку 4. Так как неравенство строгое (в итоговом объединении), точка 4 будет выколотой (пустой кружок). Заштрихуем область слева от 4.

--------------○----------------> x
              4
////////////////

Ответ: \( (-\infty; 4) \)