Решение задач 11-14

Ниже представлены решения задач с новых фотографий (задачи 11–14) в удобном для переписывания виде. Задача 11. Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней? Решение: Рассмотрим каждое уравнение: 1) \(x^2 - 19 = 0 \Rightarrow x^2 = 19\) (два корня: \(\pm\sqrt{19}\)). 2) \(x^2 + 19 = 0 \Rightarrow x^2 = -19\) (корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным). 3) \(x^2 - 19x = 0 \Rightarrow x(x - 19) = 0\) (два корня: 0 и 19). 4) \(x^2 + 19x = 0 \Rightarrow x(x + 19) = 0\) (два корня: 0 и -19). Ответ: \(x^2 + 19 = 0\). Задача 12. Решите уравнение \((4 - x)^2 - (x + 3)^2 = 2x^2 + 7\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите сумму корней. Решение: Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения: \[(16 - 8x + x^2) - (x^2 + 6x + 9) = 2x^2 + 7\] \[16 - 8x + x^2 - x^2 - 6x - 9 = 2x^2 + 7\] Приведем подобные слагаемые: \[7 - 14x = 2x^2 + 7\] Перенесем всё в одну сторону: \[2x^2 + 14x + 7 - 7 = 0\] \[2x^2 + 14x = 0\] Вынесем \(2x\) за скобки: \[2x(x + 7) = 0\] \[x_1 = 0, \quad x_2 = -7\] Сумма корней: \(0 + (-7) = -7\). Ответ: -7. Задача 13. Решите уравнение \((x - 5)^2 - 100 = 25 - (x + 10)^2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. Решение: Раскроем скобки: \[x^2 - 10x + 25 - 100 = 25 - (x^2 + 20x + 100)\] \[x^2 - 10x - 75 = 25 - x^2 - 20x - 100\] \[x^2 - 10x - 75 = -x^2 - 20x - 75\] Перенесем всё в левую часть: \[x^2 + x^2 - 10x + 20x - 75 + 75 = 0\] \[2x^2 + 10x = 0\] \[2x(x + 5) = 0\] \[x_1 = 0, \quad x_2 = -5\] Меньший корень: -5. Ответ: -5. Задача 14. При каком значении \(a\) уравнение \((a - 1)x^2 + 12x + a^2 - 1 = 0\) является неполным квадратным уравнением? Решение: Квадратное уравнение вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\) называется неполным, если коэффициент \(B = 0\) или \(C = 0\) (при этом \(A \neq 0\)). В данном уравнении: \(A = a - 1\) \(B = 12\) \(C = a^2 - 1\) Так как \(B = 12\) (не равно нулю), то уравнение станет неполным только если свободный член \(C = 0\): \[a^2 - 1 = 0\] \[a^2 = 1\] \[a_1 = 1, \quad a_2 = -1\] Проверим условие \(A \neq 0\): Если \(a = 1\), то \(A = 1 - 1 = 0\). Уравнение перестает быть квадратным (становится линейным: \(12x = 0\)). Это нам не подходит. Если \(a = -1\), то \(A = -1 - 1 = -2\) (не равно нулю). Уравнение остается квадратным и становится неполным. Ответ: -1.