Решение задач по Теореме Виета

Ниже представлены решения задач на тему Теорема Виета, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Чему равна сумма корней уравнения \(x^2 + 12x - 36 = 0\)? Решение: Для приведенного квадратного уравнения вида \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна коэффициенту \(p\), взятому с противоположным знаком: \[x_1 + x_2 = -p\] В данном уравнении \(p = 12\). Следовательно: \[x_1 + x_2 = -12\] Ответ: -12. Задача 2. Найдите произведение корней уравнения \(5x^2 - 34x - 203 = 0\). Решение: Для полного квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) произведение корней вычисляется по формуле: \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] Подставим значения \(a = 5\) и \(c = -203\): \[x_1 \cdot x_2 = \frac{-203}{5} = -40,6\] Ответ: -40,6. Задача 3. Если \(x_1 = -4, x_2 = -1\) являются корнями уравнения \(x^2 + px + q = 0\), то найдите \(p\) и \(q\). Решение: По теореме Виета: 1) \(p = -(x_1 + x_2) = -(-4 + (-1)) = -(-5) = 5\) 2) \(q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-1) = 4\) Выбираем вариант: \(p = 5, q = 4\). Ответ: пятый вариант. Задача 4. Один из корней уравнения \(3x^2 - bx - 45 = 0\) равен 5. Найдите \(b\). Решение: Пусть \(x_1 = 5\). По теореме Виета произведение корней: \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-45}{3} = -15\] Зная \(x_1 = 5\), найдем второй корень: \[5 \cdot x_2 = -15 \Rightarrow x_2 = -3\] Сумма корней: \[x_1 + x_2 = \frac{-(-b)}{a} = \frac{b}{3}\] \[5 + (-3) = \frac{b}{3}\] \[2 = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 6\] Ответ: 6. Задача 5. Разность корней уравнения \(x^2 + 20x + q = 0\) равна 4. Найдите \(q\). Решение: Составим систему из условия и теоремы Виета для суммы корней: \[\begin{cases} x_1 - x_2 = 4 \\ x_1 + x_2 = -20 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[2x_1 = -16 \Rightarrow x_1 = -8\] Найдем \(x_2\): \[-8 + x_2 = -20 \Rightarrow x_2 = -12\] По теореме Виета \(q\) равно произведению корней: \[q = x_1 \cdot x_2 = (-8) \cdot (-12) = 96\] Ответ: 96.