Решение задач на квадратный трехчлен

Ниже представлены решения задач на тему Квадратный трёхчлен, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Укажите отрицательный корень квадратного трёхчлена \(x^2 - 7x - 8\). Решение: Приравняем трёхчлен к нулю: \(x^2 - 7x - 8 = 0\). По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 7\] \[x_1 \cdot x_2 = -8\] Подбором находим корни: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -1\). Отрицательным корнем является \(-1\). Ответ: -1. Задача 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен \(3x^2 - 2x - 1\). Решение: Найдем корни уравнения \(3x^2 - 2x - 1 = 0\) через дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}\] \[x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\] Разложение по формуле \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \[3(x - 1)(x + \frac{1}{3}) = (x - 1)(3x + 1)\] Ответ: третий вариант \((3x + 1)(x - 1)\). Задача 3. Известно, что квадратный трёхчлен \(x^2 + 3x - b\) не имеет корней. Чему может быть равно \(b\)? Решение: Трёхчлен не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)): \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-b) = 9 + 4b\] \[9 + 4b < 0 \Rightarrow 4b < -9 \Rightarrow b < -2,25\] Из предложенных вариантов (\(2, -3, 0, -1\)) условию \(b < -2,25\) удовлетворяет только \(-3\). Ответ: -3. Задача 4. Сократите дробь \(\frac{2x^2 + 3x - 2}{2x^2 - 8}\). Решение: 1) Разложим числитель \(2x^2 + 3x - 2\): \(D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{-3+5}{4} = 0,5\); \(x_2 = \frac{-3-5}{4} = -2\). Числитель: \(2(x - 0,5)(x + 2)\). 2) Разложим знаменатель: \(2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2)\). 3) Сократим дробь: \[\frac{2(x - 0,5)(x + 2)}{2(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 0,5}{x - 2}\] Ответ: первый вариант \(\frac{x - 0,5}{x - 2}\). Задача 5. Упростите выражение \(\frac{a - 2}{a + 3} - \frac{a^2 - 7a + 10}{a^2 - 2a - 15}\) и найдите его значение при \(a = 19\). Решение: 1) Разложим знаменатель второй дроби: \(a^2 - 2a - 15 = (a - 5)(a + 3)\). 2) Разложим числитель второй дроби: \(a^2 - 7a + 10 = (a - 5)(a - 2)\). 3) Сократим вторую дробь: \[\frac{(a - 5)(a - 2)}{(a - 5)(a + 3)} = \frac{a - 2}{a + 3}\] 4) Выполним вычитание: \[\frac{a - 2}{a + 3} - \frac{a - 2}{a + 3} = 0\] Так как выражение после упрощения равно \(0\), то при любом допустимом \(a\) (в том числе \(a = 19\)) значение равно \(0\). Ответ: 0.