Решение задач по геометрии с фото

Ниже представлены решения задач с изображений, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1 Дано: \(\triangle KPF \sim \triangle EMT\) \(KP : ME = PF : MT = KF : ET\) \(\angle F = 32^\circ\), \(\angle E = 51^\circ\) Найти: \(\angle M\) Решение: 1. Из подобия треугольников и заданного отношения сторон следует, что соответственные углы равны: \(\angle K = \angle E = 51^\circ\) \(\angle P = \angle M\) \(\angle F = \angle T = 32^\circ\) 2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Рассмотрим \(\triangle EMT\): \(\angle M = 180^\circ - (\angle E + \angle T)\) \(\angle M = 180^\circ - (51^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ\) Ответ: 97 Задача 2 Дано: \(a_1 = 3\), \(a_2 = 4\) (сходственные стороны) \(S_1 = 18\) Найти: \(S_2\) Решение: 1. Найдем коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{3}\] 2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: \[\frac{S_2}{S_1} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\] 3. Вычислим \(S_2\): \[S_2 = S_1 \cdot \frac{16}{9} = 18 \cdot \frac{16}{9} = 2 \cdot 16 = 32\] Ответ: 32 Задача 3 Дано: \(P_1 : P_2 = 2 : 5\) \(S_1 + S_2 = 290\) Найти: \(S_1\) (площадь меньшего) Решение: 1. Отношение периметров равно коэффициенту подобия: \(k = \frac{2}{5}\). 2. Отношение площадей равно \(k^2\): \[\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\] 3. Пусть \(S_1 = 4x\), тогда \(S_2 = 25x\). \[4x + 25x = 290\] \[29x = 290\] \[x = 10\] 4. Находим площадь меньшего треугольника: \[S_1 = 4 \cdot 10 = 40\] Ответ: 40 Задача 4 Дано: \(\triangle ABC\), \(BD\) — биссектриса \(AD = 6\), \(CD = 9\), \(AB = 15\) Найти: \(P_{ABC}\) Решение: 1. По свойству биссектрисы треугольника: \[\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD}\] \[\frac{15}{6} = \frac{BC}{9}\] \[BC = \frac{15 \cdot 9}{6} = \frac{135}{6} = 22,5\] 2. Найдем сторону \(AC\): \[AC = AD + CD = 6 + 9 = 15\] 3. Периметр треугольника: \[P = AB + BC + AC = 15 + 22,5 + 15 = 52,5\] Ответ: 52,5 Задача 5 Дано: \(P = 70\), \(a = 18\), \(b = 24\) Найти: разность отрезков третьей стороны. Решение: 1. Найдем третью сторону \(c\): \[c = P - (a + b) = 70 - (18 + 24) = 70 - 42 = 28\] 2. Биссектриса делит сторону \(c\) на отрезки \(x\) и \(y\) пропорционально прилежащим сторонам: \[\frac{x}{y} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\] 3. Так как \(x + y = 28\), составим уравнение: \[3k + 4k = 28 \Rightarrow 7k = 28 \Rightarrow k = 4\] 4. Отрезки равны: \(x = 3 \cdot 4 = 12\) \(y = 4 \cdot 4 = 16\) 5. Разность отрезков: \[16 - 12 = 4\] Ответ: 4