Решение задач на среднюю линию треугольника

Ниже представлены решения задач со второй серии изображений, оформленные для тетради. Задача 1 Дано: \(\triangle ABC\), \(AK = KB\), \(BE = EC\), \(KE = 5\) Найти: \(AC\) Решение: 1. Так как точки \(K\) и \(E\) делят стороны \(AB\) и \(BC\) пополам, то отрезок \(KE\) является средней линией треугольника \(ABC\). 2. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине: \[KE = \frac{1}{2} AC\] 3. Отсюда находим \(AC\): \[AC = 2 \cdot KE = 2 \cdot 5 = 10\] Ответ: 10 Задача 2 Дано: \(K, P, E\) — середины сторон \(AB, BC, AC\) \(P_{ABC} = 100\) Найти: \(P_{KPE}\) Решение: 1. Стороны треугольника \(KPE\) являются средними линиями треугольника \(ABC\). 2. Каждая средняя линия в 2 раза меньше соответствующей стороны основного треугольника. 3. Следовательно, периметр треугольника, образованного средними линиями, в 2 раза меньше периметра исходного треугольника: \[P_{KPE} = \frac{1}{2} P_{ABC} = \frac{100}{2} = 50\] Ответ: 50 Задача 3 Дано: Прямоугольный треугольник, высота делит гипотенузу на отрезки \(a_c = 8\) и \(b_c = 10\). Найти: меньший катет. Решение: 1. Найдем гипотенузу \(c\): \[c = 8 + 10 = 18\] 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. 3. Вычислим катеты \(a\) и \(b\): \[a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12\] \[b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{18 \cdot 10} = \sqrt{180} \approx 13,4\] 4. Меньший катет равен 12. Ответ: 12 Задача 4 Дано: Трапеция, средняя линия \(m = 17\). Диагональ делит её на отрезки, разность которых равна 3. Найти: \(|a - b|\) (разность оснований). Решение: 1. Пусть отрезки средней линии равны \(x\) и \(y\). Тогда: \(x + y = 17\) \(y - x = 3\) 2. Сложим уравнения: \(2y = 20 \Rightarrow y = 10\). Тогда \(x = 17 - 10 = 7\). 3. Отрезки средней линии являются средними линиями треугольников, на которые диагональ делит трапецию. Значит, основания равны: \(a = 2x = 2 \cdot 7 = 14\) \(b = 2y = 2 \cdot 10 = 20\) 4. Разность оснований: \[|20 - 14| = 6\] Ответ: 6 Задача 5 Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CD \perp AB\) \(AC = 5\), \(CB = 15\) Найти: \(S_{ACD} : S_{CDB}\) Решение: 1. Треугольники \(ACD\) и \(CDB\) подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют равные острые углы в силу свойств высоты в прямоугольном треугольнике). 2. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению сходственных сторон (гипотенуз этих треугольников): \[k = \frac{AC}{CB} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\] 3. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: \[\frac{S_{ACD}}{S_{CDB}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\] Ответ: 1 : 9