Решение Задачи о Проводниках и Сопротивлении

Задача 2. Легкая

Четыре проводника

Четыре проводника сделаны из одного и того же материала. Известно, что длина проводника 1 равна длине проводника 3, длина проводника 2 равна длине проводника 4, площадь сечения проводника 1 равна площади сечения проводника 2.

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить формулу для электрического сопротивления проводника:

Где:

• \(R\) - электрическое сопротивление проводника (Ом)
• \(\rho\) - удельное электрическое сопротивление материала (Ом·м)
• \(L\) - длина проводника (м)
• \(S\) - площадь поперечного сечения проводника (м²)

Из условия задачи известно, что все проводники сделаны из одного и того же материала, значит, удельное электрическое сопротивление \(\rho\) для всех проводников одинаково. Таким образом, сопротивление проводника прямо пропорционально его длине \(L\) и обратно пропорционально площади его поперечного сечения \(S\).

То есть, чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление. Чем больше площадь сечения проводника, тем меньше его сопротивление.

Давайте проанализируем размеры каждого проводника, используя изображения и данные из условия:

Обозначения:

• \(L_1, L_2, L_3, L_4\) - длины проводников 1, 2, 3, 4 соответственно.
• \(S_1, S_2, S_3, S_4\) - площади сечения проводников 1, 2, 3, 4 соответственно.

Из условия:

• Длина проводника 1 равна длине проводника 3: \(L_1 = L_3\).
• Длина проводника 2 равна длине проводника 4: \(L_2 = L_4\).
• Площадь сечения проводника 1 равна площади сечения проводника 2: \(S_1 = S_2\).

Визуальный анализ изображений:

Сравнивая проводники по длине:

• Проводник 1 и 3 имеют одинаковую длину.
• Проводник 2 и 4 имеют одинаковую длину.
• Видно, что проводники 1 и 3 значительно длиннее проводников 2 и 4. То есть, \(L_1 = L_3 > L_2 = L_4\).

Сравнивая проводники по площади сечения (толщине):

• Проводник 1 и 2 имеют одинаковую площадь сечения.
• Проводник 3 значительно тоньше проводника 1. То есть, \(S_3 < S_1\).
• Проводник 4 значительно толще проводника 2. То есть, \(S_4 > S_2\).

Суммируем информацию о размерах:

• Проводник 1: Длинный, средняя толщина (пусть \(L_1 = L\), \(S_1 = S\)).
• Проводник 2: Короткий, средняя толщина (пусть \(L_2 = l\), \(S_2 = S\)).
• Проводник 3: Длинный, тонкий (пусть \(L_3 = L\), \(S_3 = s\), где \(s < S\)).
• Проводник 4: Короткий, толстый (пусть \(L_4 = l\), \(S_4 = S'\), где \(S' > S\)).

Из этого следует, что \(L > l\) и \(S' > S > s\).

Теперь оценим сопротивление каждого проводника:

• \(R_1 = \rho \frac{L}{S}\)
• \(R_2 = \rho \frac{l}{S}\)
• \(R_3 = \rho \frac{L}{s}\)
• \(R_4 = \rho \frac{l}{S'}\)

Сравнение сопротивлений:

1. Сравним \(R_1\) и \(R_3\):

   \(R_1 = \rho \frac{L}{S}\) и \(R_3 = \rho \frac{L}{s}\).

   Так как \(s < S\), то \(\frac{1}{s} > \frac{1}{S}\). Следовательно, \(R_3 > R_1\).

   Проводник 3 длинный и тонкий, что способствует большому сопротивлению.

2. Сравним \(R_2\) и \(R_4\):

   \(R_2 = \rho \frac{l}{S}\) и \(R_4 = \rho \frac{l}{S'}\).

   Так как \(S' > S\), то \(\frac{1}{S'} < \frac{1}{S}\). Следовательно, \(R_4 < R_2\).

   Проводник 4 короткий и толстый, что способствует малому сопротивлению.

3. Сравним \(R_1\) и \(R_2\):

   \(R_1 = \rho \frac{L}{S}\) и \(R_2 = \rho \frac{l}{S}\).

   Так как \(L > l\), то \(R_1 > R_2\).

Ищем наибольшее сопротивление:

Наибольшее сопротивление будет у проводника, который одновременно самый длинный и самый тонкий. Из нашего анализа это проводник 3 (\(L_3 = L\), \(S_3 = s\), где \(L\) - максимальная длина, \(s\) - минимальная площадь сечения).

Действительно, \(R_3 = \rho \frac{L}{s}\). Это будет наибольшее значение, так как \(L\) максимально, а \(s\) минимально.

Ищем наименьшее сопротивление:

Наименьшее сопротивление будет у проводника, который одновременно самый короткий и самый толстый. Из нашего анализа это проводник 4 (\(L_4 = l\), \(S_4 = S'\), где \(l\) - минимальная длина, \(S'\) - максимальная площадь сечения).

Действительно, \(R_4 = \rho \frac{l}{S'}\). Это будет наименьшее значение, так как \(l\) минимально, а \(S'\) максимально.

Вывод:

Наибольшее сопротивление имеет проводник 3.

Наименьшее сопротивление имеет проводник 4.

Ответы для заполнения:

Наибольшее сопротивление имеет проводник... 3

Наименьшее сопротивление имеет проводник... 4