Доказательство перпендикулярности биссектрис соседних углов параллелограмма

Хорошо, давайте решим эти задачи. ***

Задача 1: Доказательство перпендикулярности биссектрис соседних углов параллелограмма

Заполним пропуски в краткой записи условия и в решении задачи. Дано: \(MNKP\) – параллелограмм; \(MA\) – биссектриса угла \(M\); \(NB\) – биссектриса угла \(N\). Доказать: \(MA \perp NB\). Доказательство: \( \angle NMA = 0,5 \angle M \); \( \angle MNB = 0,5 \angle N \). \( \angle NMA + \angle MNB = 0,5 (\angle M + \angle N) \). \( \angle M + \angle N = 180^\circ \) (как односторонние углы при \(MP \parallel NK\) и секущей \(MN\)). Тогда \( \angle NMA + \angle MNB = 0,5 \cdot 180^\circ = 90^\circ \). В \( \triangle MNC \): \( \angle NMC + \angle MNC + \angle NCM = 180^\circ \). Так как \( \angle NMC = \angle NMA \) и \( \angle MNC = \angle MNB \), то \( \angle NCM = 180^\circ - (\angle NMA + \angle MNB) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Значит, \( MA \perp NB \). Что и требовалось доказать. ***

Задача 2: Нахождение длин отрезков, образованных биссектрисами в параллелограмме

Стороны параллелограмма \(ABCD\) равны 8 и 3. Биссектрисы \(BK\) и \(CY\) пересекают прямую \(AD\) в точках \(K\) и \(Y\). Найдите \(AK\), \(AY\) и \(KY\). Дано: Параллелограмм \(ABCD\). Стороны: \(AB = CD = 3\), \(BC = AD = 8\). \(BK\) – биссектриса угла \(B\). \(CY\) – биссектриса угла \(C\). Точки \(K\) и \(Y\) лежат на прямой \(AD\). Решение: 1) Найдем \(AK\). Рассмотрим биссектрису \(BK\). Так как \(ABCD\) – параллелограмм, то \(BC \parallel AD\). \(BK\) – секущая. Значит, \( \angle CBK = \angle AKB \) (как накрест лежащие углы). По условию, \(BK\) – биссектриса угла \(B\), поэтому \( \angle ABK = \angle CBK \). Из этого следует, что \( \angle ABK = \angle AKB \). Тогда треугольник \(ABK\) – равнобедренный с основанием \(BK\). Значит, \(AK = AB\). По условию \(AB = 3\). Следовательно, \(AK = 3\). 2) Найдем \(AY\). Рассмотрим биссектрису \(CY\). Так как \(ABCD\) – параллелограмм, то \(BC \parallel AD\). \(CY\) – секущая. Значит, \( \angle BCY = \angle CYD \) (как накрест лежащие углы). По условию, \(CY\) – биссектриса угла \(C\), поэтому \( \angle BCD = \angle BCY \). Из этого следует, что \( \angle DCY = \angle CYD \). Тогда треугольник \(CDY\) – равнобедренный с основанием \(CY\). Значит, \(DY = CD\). По условию \(CD = 3\). Следовательно, \(DY = 3\). Теперь найдем \(AY\). Точка \(Y\) лежит на прямой \(AD\). \(AD = 8\). \(AY = AD - DY\). \(AY = 8 - 3 = 5\). 3) Найдем \(KY\). Точки \(K\) и \(Y\) лежат на прямой \(AD\). Мы нашли \(AK = 3\) и \(DY = 3\). Длина отрезка \(AD = 8\). Отрезок \(KY\) можно найти как \(AD - AK - DY\), если \(K\) и \(Y\) находятся между \(A\) и \(D\). \(KY = AD - AK - DY = 8 - 3 - 3 = 2\). Проверим расположение точек. Если \(A\) – начало отрезка \(AD\), то \(K\) находится на расстоянии 3 от \(A\). Если \(D\) – конец отрезка \(AD\), то \(Y\) находится на расстоянии 3 от \(D\). Значит, \(K\) и \(Y\) находятся между \(A\) и \(D\). Ответы: 1) Все возможные значения \(AK\): 3 2) Все возможные значения \(AY\): 5 3) Все возможные значения \(KY\): 2