Решение задач по математике с фото 1-4. Задача 1: (√17 + √23)(√17 - √23) = -6. Подробное решение каждой задачи внутри.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
Задача 1: Вычисления и преобразования
Вычислите: \((\sqrt{17} + \sqrt{23})(\sqrt{17} - \sqrt{23})\).
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу сокращенного умножения, которая называется "разность квадратов":
\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]
В нашем случае \(a = \sqrt{17}\) и \(b = \sqrt{23}\).
Подставим эти значения в формулу:
\[(\sqrt{17} + \sqrt{23})(\sqrt{17} - \sqrt{23}) = (\sqrt{17})^2 - (\sqrt{23})^2\]
Известно, что квадрат квадратного корня из числа равен самому числу: \((\sqrt{x})^2 = x\).
Значит:
\[(\sqrt{17})^2 = 17\]
\[(\sqrt{23})^2 = 23\]
Теперь подставим эти значения обратно в выражение:
\[17 - 23\]
Выполним вычитание:
\[17 - 23 = -6\]
Ответ: -6
Задача 2: Иррациональное выражение
Найдите значение выражения: \[\frac{1}{\sqrt{10} - 3} - \frac{1}{\sqrt{10} + 3}\]
Решение:
Чтобы найти значение этого выражения, нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение их знаменателей: \((\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)\).
Сначала преобразуем каждую дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя.
Для первой дроби \(\frac{1}{\sqrt{10} - 3}\):
Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{10} + 3)\):
\[\frac{1}{\sqrt{10} - 3} = \frac{1 \cdot (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)}\]
Используем формулу разности квадратов в знаменателе: \((\sqrt{10})^2 - 3^2 = 10 - 9 = 1\).
Значит, первая дробь равна:
\[\frac{\sqrt{10} + 3}{1} = \sqrt{10} + 3\]
Для второй дроби \(\frac{1}{\sqrt{10} + 3}\):
Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{10} - 3)\):
\[\frac{1}{\sqrt{10} + 3} = \frac{1 \cdot (\sqrt{10} - 3)}{(\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3)}\]
Используем формулу разности квадратов в знаменателе: \((\sqrt{10})^2 - 3^2 = 10 - 9 = 1\).
Значит, вторая дробь равна:
\[\frac{\sqrt{10} - 3}{1} = \sqrt{10} - 3\]
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
\[(\sqrt{10} + 3) - (\sqrt{10} - 3)\]
Раскроем скобки, помня, что минус перед скобкой меняет знаки внутри:
\[\sqrt{10} + 3 - \sqrt{10} + 3\]
Сгруппируем подобные члены:
\[(\sqrt{10} - \sqrt{10}) + (3 + 3)\]
\[0 + 6\]
\[6\]
Ответ: 6
Задача 3: Арифметический квадратный корень
Вычислите: \(0,2\sqrt{100} + 1,5\sqrt{\frac{1}{9}}\).
Решение:
Сначала вычислим значения квадратных корней:
\[\sqrt{100} = 10\]
\[\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}\]
Теперь подставим эти значения обратно в выражение:
\[0,2 \cdot 10 + 1,5 \cdot \frac{1}{3}\]
Выполним умножение:
\[0,2 \cdot 10 = 2\]
\[1,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1,5}{3} = 0,5\]
Теперь сложим полученные результаты:
\[2 + 0,5 = 2,5\]
Ответ: 2,5
Задача 4: Рациональные и иррациональные числа
Значение какого из выражений является числом рациональным?
1) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}\)
2) \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)
3) \((\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})\)
4) \((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2\)
В ответе укажите номер правильного варианта.
Запишите, чему равно значение выбранного вами выражения.
Решение:
Напомним, что рациональное число - это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - целое число, а \(q\) - натуральное число. Иррациональное число - это число, которое нельзя представить в таком виде (например, \(\sqrt{2}\), \(\pi\)).
Рассмотрим каждое выражение:
1) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}\)
\[\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{12}\]
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Так как \(\sqrt{3}\) - иррациональное число, то \(2\sqrt{3}\) - тоже иррациональное число.
2) \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)
\[\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}\]
\(\sqrt{3}\) - иррациональное число.
3) \((\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})\)
Используем формулу разности квадратов: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
Здесь \(a = \sqrt{6}\) и \(b = \sqrt{2}\).
\[(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4\]
Число 4 является целым числом, а значит, рациональным (его можно представить как \(\frac{4}{1}\)).
4) \((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2\)
Используем формулу квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Здесь \(a = \sqrt{6}\) и \(b = \sqrt{2}\).
\[(\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\]
\[6 + 2\sqrt{12} + 2\]
\[8 + 2\sqrt{4 \cdot 3}\]
\[8 + 2 \cdot 2\sqrt{3}\]
\[8 + 4\sqrt{3}\]
Так как \(4\sqrt{3}\) - иррациональное число, то \(8 + 4\sqrt{3}\) - тоже иррациональное число.
Таким образом, рациональным числом является значение выражения под номером 3.
Номер правильного варианта: 3
Значение выбранного выражения: 4
