Решение: Реши задачу: Решить с первой по 4 фотографию.

Хорошо, продолжим решать задачи.

Задача 1: Корни в знаменателе (часть 1)

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{3a}{2\sqrt{3}}\). Решение: Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}\). \[\frac{3a}{2\sqrt{3}} = \frac{3a \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\] В знаменателе \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3\). Значит, выражение становится: \[\frac{3a\sqrt{3}}{2 \cdot 3}\] Сократим 3 в числителе и знаменателе: \[\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Среди предложенных вариантов: 1) \(\frac{2a\sqrt{3}}{6}\) 2) \(\frac{3a\sqrt{3}}{2}\) 3) \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) 4) \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\) Правильный вариант: 3) \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Задача 1: Корни в знаменателе (часть 2)

Вычислите: \[\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}\] Решение: Для каждой дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Для первой дроби \(\frac{1}{2 + \sqrt{3}}\): Умножим на \((2 - \sqrt{3})\): \[\frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}\] Для второй дроби \(\frac{1}{2 - \sqrt{3}}\): Умножим на \((2 + \sqrt{3})\): \[\frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}\] Теперь сложим полученные результаты: \[(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})\] \[2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}\] \[(2 + 2) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3})\] \[4 + 0\] \[4\] Ответ: 4

Задача 2: Вынесите множитель за знак корня

Нужно сопоставить выражения с их упрощенными формами. 1) \(\sqrt{45}\) Разложим 45 на множители: \(45 = 9 \cdot 5\). \[\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}\] 2) \(\sqrt{48}\) Разложим 48 на множители: \(48 = 16 \cdot 3\). \[\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\] 3) \(\sqrt{\frac{45}{16}}\) \[\sqrt{\frac{45}{16}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{4} = \frac{3\sqrt{5}}{4}\] 4) \(\sqrt{\frac{50}{81}}\) \[\sqrt{\frac{50}{81}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{81}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 2}}{9} = \frac{5\sqrt{2}}{9}\] Сопоставление: \(\sqrt{45}\) соответствует \(3\sqrt{5}\) \(\sqrt{48}\) соответствует \(4\sqrt{3}\) \(\sqrt{\frac{45}{16}}\) соответствует \(\frac{3\sqrt{5}}{4}\) \(\sqrt{\frac{50}{81}}\) соответствует \(\frac{5\sqrt{2}}{9}\)

Задача 3: Посчитаем корни

Найдите значение выражения: \[\left(\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{10}} + \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{20}}\right) \cdot \sqrt{27}\] Решение: Сначала упростим дроби в скобках: \[\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{30}{10}} = \sqrt{3}\] \[\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{60}{20}} = \sqrt{3}\] Теперь подставим эти значения обратно в скобки: \[(\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{27}\] Сложим члены в скобках: \[2\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}\] Теперь упростим \(\sqrt{27}\): \[\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\] Подставим это значение обратно в выражение: \[2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}\] Перемножим числа и корни: \[(2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\] \[6 \cdot (\sqrt{3})^2\] \[6 \cdot 3\] \[18\] Ответ: 18

Задача 4: Свойства арифметического квадратного корня

Найдите значение выражения: \(\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}\). Сначала нужно выделить полный квадрат для выражений под корнями. 1) Выделите полный квадрат для выражения \(19 + 8\sqrt{3}\). Мы ищем выражение вида \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). У нас \(19 + 8\sqrt{3}\). Сравним \(2ab\) с \(8\sqrt{3}\). Значит, \(ab = 4\sqrt{3}\). И \(a^2 + b^2 = 19\). Попробуем варианты из предложенных: * \((4 + \sqrt{3})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 3 = 19 + 8\sqrt{3}\). Это подходит! Значит, \(19 + 8\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^2\). Правильный вариант: \((4 + \sqrt{3})^2\). 2) Выделите полный квадрат для выражения \(19 - 8\sqrt{3}\). Мы ищем выражение вида \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). У нас \(19 - 8\sqrt{3}\). По аналогии с предыдущим, если \(19 + 8\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^2\), то логично предположить, что \(19 - 8\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3})^2\). Проверим: * \((4 - \sqrt{3})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 16 - 8\sqrt{3} + 3 = 19 - 8\sqrt{3}\). Это подходит! Значит, \(19 - 8\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3})^2\). Правильный вариант: \((4 - \sqrt{3})^2\). Теперь найдем значение исходного выражения: \[\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}\] Подставим найденные полные квадраты: \[\sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2}\] Так как \(\sqrt{x^2} = |x|\), то: \[|4 + \sqrt{3}| + |4 - \sqrt{3}|\] Поскольку \(4 + \sqrt{3}\) положительное число, \(|4 + \sqrt{3}| = 4 + \sqrt{3}\). Поскольку \(4 = \sqrt{16}\) и \(\sqrt{16} > \sqrt{3}\), то \(4 - \sqrt{3}\) также положительное число, \(|4 - \sqrt{3}| = 4 - \sqrt{3}\). Значит, выражение равно: \[(4 + \sqrt{3}) + (4 - \sqrt{3})\] \[4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3}\] \[(4 + 4) + (\sqrt{3} - \sqrt{3})\] \[8 + 0\] \[8\] Ответ: 8