Решение задач с фотографий

Ниже представлены решения задач с фотографий в порядке их следования. Задача 7. Решение уравнения \(x^2 - 2x = \frac{3 + x}{2}\) 1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 2(x^2 - 2x) = 3 + x \] \[ 2x^2 - 4x = 3 + x \] 2. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: \[ 2x^2 - 4x - x - 3 = 0 \] \[ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \] 3. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \] 4. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5 \] Целый корень уравнения: 3. Задача 8. Коэффициенты и дискриминант Уравнение 1: \(-49x^2 + 84x - 36 = 0\) Коэффициенты: \(a = -49\), \(b = 84\), \(c = -36\). Дискриминант: \(D = 84^2 - 4 \cdot (-49) \cdot (-36) = 7056 - 7056 = 0\). Количество корней: 1. Уравнение 2: \(-9x^2 + 15x - 7 = 0\) Коэффициенты: \(a = -9\), \(b = 15\), \(c = -7\). Дискриминант: \(D = 15^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-7) = 225 - 252 = -27\). Количество корней: 0 (так как \(D < 0\)). Задача 9. Решение уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) 1. Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] 2. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \] Ответ: -1; 4. Задача 10. Параметр в уравнении \(3x^2 + ax + 3 = 0\) Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда дискриминант равен нулю. \[ D = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = a^2 - 36 \] Условие \(D = 0\): \[ a^2 - 36 = 0 \] \[ a^2 = 36 \] \[ a_1 = 6, a_2 = -6 \] Ответ: -6; 6. Задача 11. Выбор квадратного уравнения и его решение Проверим уравнения: 1) \(4 + (x-2)(x+2) = (x-2)^2 \Rightarrow 4 + x^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x = 4\) (линейное). 2) \(x(x-2) = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\) (квадратное). 3) \(5(x-2) = 3\) (линейное). 4) Уравнение с дробями сводится к линейному. Решаем квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 3 = 0\): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Больший из корней: 3. Задача 12. Количество корней \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) Найдем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \] Если \(D = 0\), уравнение имеет один корень. Ответ: Один корень.