Решение задач по фото: квадратные уравнения

Ниже представлены решения задач со всех шести фотографий. Задание 1 Решите уравнение \( x^2 - 11x + 30 = 0 \). В ответ запишите меньший из корней. Решение: Воспользуемся теоремой Виета: \[ x_1 + x_2 = 11 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 30 \] Методом подбора находим корни: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = 6 \). Меньший из корней равен 5. Ответ: 5 Задание 2 Решите уравнение \( 5x^2 - 12x + 7 = 0 \). В ответ запишите больший из корней. Решение: Заметим, что сумма коэффициентов \( a + b + c = 5 - 12 + 7 = 0 \). В этом случае первый корень \( x_1 = 1 \), а второй \( x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{5} = 1,4 \). Больший корень равен 1,4. Ответ: 1,4 Задание 3 Решите уравнение \( \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{2} \). В ответ запишите сумму корней. Решение: Умножим всё уравнение на 12, чтобы избавиться от дробей: \[ 3x^2 - 4x = x^2 + 6 \] Перенесем всё в левую часть: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] По теореме Виета сумма корней \( x_1 + x_2 = -b/a \): \[ x_1 + x_2 = 2 \] Ответ: 2 Задание 4 При каком значении \( x \) выражение \( \frac{2}{x^2 - 8x + 16} \) не имеет смысла? Решение: Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю: \[ x^2 - 8x + 16 = 0 \] Заметим формулу квадрата разности \( (a-b)^2 \): \[ (x - 4)^2 = 0 \] \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] Ответ: 4 Задание 5 Решите уравнение \( (x - 7)^2 - 16 = (x + 7)^2 - 4(7x + x^2) \). Запишите больший корень. Решение: Раскроем скобки: \[ x^2 - 14x + 49 - 16 = x^2 + 14x + 49 - 28x - 4x^2 \] Упростим: \[ x^2 - 14x + 33 = x^2 - 14x + 49 - 4x^2 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 4x^2 + 33 - 49 = 0 \] \[ 4x^2 - 16 = 0 \] \[ 4x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 4 \] Корни: \( x_1 = 2, x_2 = -2 \). Больший корень 2. Ответ: 2 Задание 6 Заполните пропуски для уравнений. Уравнение 1: \( 4x^2 + 24x + 36 = 0 \) \( a = 4 \); \( b = 24 \); \( c = 36 \). Дискриминант \( D = 24^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 576 - 576 = 0 \). Количество корней равно 1. Уравнение 2: \( -2x^2 + 11x - 15 = 0 \) \( a = -2 \); \( b = 11 \); \( c = -15 \). Дискриминант \( D = 11^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-15) = 121 - 120 = 1 \). Количество корней равно 2.