Хорошо, давайте решим задачи по порядку, начиная с третьей фотографии.
***
Задача 1. Биссектрисы в параллелограмме
Стороны параллелограмма \(ABCD\) равны 8 и 3. Биссектрисы \(BK\) и \(CY\) пересекают прямую \(AD\) в точках \(K\) и \(Y\). Найдите \(AK\), \(AY\) и \(KY\).
Решение:
Пусть дан параллелограмм \(ABCD\).
Известно, что стороны параллелограмма равны 8 и 3. Возможны два случая:
1. \(AB = CD = 3\) и \(BC = AD = 8\).
2. \(AB = CD = 8\) и \(BC = AD = 3\).
Рассмотрим каждый случай отдельно.
Случай 1: \(AB = 3\), \(AD = 8\)
1. Найдем \(AK\).
Биссектриса \(BK\) угла \(B\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(K\).
Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle CBK = \angle AKB\) (как накрест лежащие углы).
Поскольку \(BK\) - биссектриса угла \(B\), то \(\angle CBK = \angle ABK\).
Следовательно, \(\angle AKB = \angle ABK\).
Это означает, что треугольник \(ABK\) равнобедренный с основанием \(BK\).
Значит, \(AK = AB\).
В этом случае \(AK = 3\).
2. Найдем \(AY\).
Биссектриса \(CY\) угла \(C\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(Y\).
Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCY = \angle CYD\) (как накрест лежащие углы).
Поскольку \(CY\) - биссектриса угла \(C\), то \(\angle BCY = \angle DCY\).
Следовательно, \(\angle CYD = \angle DCY\).
Это означает, что треугольник \(CDY\) равнобедренный с основанием \(CY\).
Значит, \(DY = CD\).
В этом случае \(DY = 3\).
Тогда \(AY = AD - DY = 8 - 3 = 5\).
3. Найдем \(KY\).
Мы нашли \(AK = 3\) и \(AY = 5\).
Точки \(A, K, Y, D\) лежат на прямой \(AD\).
Поскольку \(AK = 3\) и \(AY = 5\), а \(AD = 8\), то точка \(K\) находится между \(A\) и \(Y\).
\(KY = AY - AK = 5 - 3 = 2\).
Случай 2: \(AB = 8\), \(AD = 3\)
1. Найдем \(AK\).
Как и в первом случае, треугольник \(ABK\) равнобедренный, поэтому \(AK = AB\).
В этом случае \(AK = 8\).
Однако, \(AD = 3\). Точка \(K\) лежит на прямой \(AD\). Если \(AK = 8\), а \(AD = 3\), то точка \(K\) лежит за точкой \(D\) относительно \(A\).
2. Найдем \(AY\).
Как и в первом случае, треугольник \(CDY\) равнобедренный, поэтому \(DY = CD\).
В этом случае \(DY = 8\).
Тогда \(AY = AD - DY = 3 - 8 = -5\). Это означает, что точка \(Y\) лежит за точкой \(A\) относительно \(D\), то есть \(Y\) находится на продолжении \(AD\) за точку \(A\). Длина отрезка \(AY\) будет \(|3 - 8| = 5\).
3. Найдем \(KY\).
В этом случае \(AK = 8\) и \(AY = 5\).
Точки \(A, D\) находятся на отрезке длиной 3.
Точка \(K\) находится на расстоянии 8 от \(A\).
Точка \(Y\) находится на расстоянии 5 от \(A\) (в противоположную сторону от \(D\)).
Тогда \(KY = AK + AY = 8 + 5 = 13\).
Возможные значения:
1) Возможные значения \(AK\):
Из Случая 1: \(AK = 3\).
Из Случая 2: \(AK = 8\).
Ответ: 3, 8
2) Возможные значения \(AY\):
Из Случая 1: \(AY = 5\).
Из Случая 2: \(AY = 5\).
Ответ: 5
3) Возможные значения \(KY\):
Из Случая 1: \(KY = 2\).
Из Случая 2: \(KY = 13\).
Ответ: 2, 13
***
Задача 2. Биссектрисы параллелограмма
В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(A\) и \(D\) пересекают прямую \(BC\) в точках \(K\) и \(E\) соответственно. Найдите длину отрезка \(KE\), если \(AB = 18\), \(AD = 14\).
Решение:
Нарисуем параллелограмм \(ABCD\).
\(AB = CD = 18\).
\(AD = BC = 14\).
1. Рассмотрим биссектрису угла \(A\).
Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(K\).
Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle DAK = \angle AKB\) (как накрест лежащие углы).
Поскольку \(AK\) - биссектриса угла \(A\), то \(\angle DAK = \angle KAB\).
Следовательно, \(\angle AKB = \angle KAB\).
Это означает, что треугольник \(ABK\) равнобедренный с основанием \(AK\).
Значит, \(BK = AB\).
\(BK = 18\).
2. Рассмотрим биссектрису угла \(D\).
Пусть биссектриса угла \(D\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(E\).
Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle ADE = \angle DEC\) (как накрест лежащие углы).
Поскольку \(DE\) - биссектриса угла \(D\), то \(\angle ADE = \angle CDE\).
Следовательно, \(\angle DEC = \angle CDE\).
Это означает, что треугольник \(CDE\) равнобедренный с основанием \(DE\).
Значит, \(CE = CD\).
\(CE = 18\).
3. Найдем длину отрезка \(KE\).
Точки \(K, B, C, E\) лежат на прямой \(BC\).
Длина отрезка \(BC = 14\).
Мы знаем, что \(BK = 18\) и \(CE = 18\).
Поскольку \(BK = 18\) и \(BC = 14\), то точка \(K\) находится за точкой \(C\) относительно \(B\).
\(KC = BK - BC = 18 - 14 = 4\).
Поскольку \(CE = 18\) и \(BC = 14\), то точка \(E\) находится за точкой \(B\) относительно \(C\).
\(BE = CE - BC = 18 - 14 = 4\).
Теперь рассмотрим расположение точек на прямой \(BC\).
Точка \(B\) находится между \(K\) и \(C\).
Точка \(C\) находится между \(B\) и \(E\).
Значит, порядок точек: \(E, B, C, K\).
\(KE = EB + BC + CK\).
\(KE = 4 + 14 + 4 = 22\).
Или, если рассмотреть отрезки:
\(KE = BK + CE - BC\) (если \(K\) и \(E\) находятся по разные стороны от отрезка \(BC\), но это не так).
Давайте нарисуем.
\(B\) и \(C\) - это концы отрезка \(BC\).
\(K\) находится на прямой \(BC\), и \(BK = 18\). Так как \(BC = 14\), то \(K\) находится за \(C\).
\(C\) находится на прямой \(BC\), и \(CE = 18\). Так как \(BC = 14\), то \(E\) находится за \(B\).
Значит, \(E\) находится слева от \(B\), а \(K\) находится справа от \(C\).
Расстояние от \(E\) до \(B\) равно \(CE - CB = 18 - 14 = 4\).
Расстояние от \(C\) до \(K\) равно \(BK - BC = 18 - 14 = 4\).
Тогда длина отрезка \(KE\) будет суммой этих отрезков и отрезка \(BC\):
\(KE = EB + BC + CK = 4 + 14 + 4 = 22\).
Ответ:
22
***
Задача 3. Параллелограмм \(MFKS\)
В параллелограмме \(MFKS\) \(MF : MK = 1 : 2\) и \(\angle SKM = 38^\circ\).
Найдите наименьший из углов, образованных диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть дан параллелограмм \(MFKS\).
Обозначим стороны: \(MF = a\), \(MK = b\).
Дано отношение \(MF : MK = 1 : 2\), то есть \(a : b = 1 : 2\).
Пусть \(a = x\), тогда \(b = 2x\).
Значит, \(MF = SK = x\) и \(MK = FS = 2x\).
Дано \(\angle SKM = 38^\circ\).
В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\).
\(\angle M = \angle S\), \(\angle F = \angle K\).
\(\angle F + \angle K = 180^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(SKM\).
Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
Это угол между стороной \(MK\) и диагональю \(SK\).
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть диагонали \(MS\) и \(FK\) пересекаются в точке \(O\).
Нам нужно найти наименьший из углов, образованных диагоналями. Это либо \(\angle FOS\) (или \(\angle MOK\)), либо \(\angle FOM\) (или \(\angle SOK\)). Эти углы смежные, их сумма равна \(180^\circ\). Наименьший будет острым углом.
Рассмотрим треугольник \(MKS\).
Стороны \(MK = 2x\), \(SK = x\).
Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
Применим теорему синусов в треугольнике \(MKS\):
\[ \frac{MS}{\sin(\angle SKM)} = \frac{SK}{\sin(\angle SMK)} = \frac{MK}{\sin(\angle MSK)} \]
\[ \frac{MS}{\sin(38^\circ)} = \frac{x}{\sin(\angle SMK)} = \frac{2x}{\sin(\angle MSK)} \]
Из \(\frac{x}{\sin(\angle SMK)} = \frac{2x}{\sin(\angle MSK)}\) следует:
\[ \sin(\angle MSK) = 2 \sin(\angle SMK) \]
Также сумма углов в треугольнике \(MKS\) равна \(180^\circ\):
\(\angle SMK + \angle MSK + \angle SKM = 180^\circ\)
\(\angle SMK + \angle MSK + 38^\circ = 180^\circ\)
\(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\)
Это система уравнений, которую можно решить, но это не самый простой путь.
Давайте используем свойство углов параллелограмма.
\(\angle K = \angle SKM + \angle SKF = 38^\circ + \angle SKF\).
\(\angle F + \angle K = 180^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(MOK\).
Угол \(\angle MOK\) - это один из углов, образованных диагоналями.
\(\angle MOK = \angle OMK + \angle OKM\).
\(\angle OMK = \angle SMK\).
\(\angle OKM = \angle SKF\).
Давайте рассмотрим треугольник \(MFS\).
\(MF = x\), \(FS = 2x\).
\(\angle FSM = \angle SKM = 38^\circ\) (как накрест лежащие углы при \(MF \parallel SK\) и секущей \(MS\)).
Это неверно. \(MF \parallel SK\) - это неверно. \(MF \parallel KS\) - это неверно.
В параллелограмме \(MFKS\), \(MF \parallel KS\) и \(MK \parallel FS\).
Значит, \(\angle FSM\) и \(\angle SKM\) не являются накрест лежащими.
Нам дано \(\angle SKM = 38^\circ\).
Так как \(MK \parallel FS\), то \(\angle SKM\) и \(\angle FSK\) являются накрест лежащими углами при секущей \(SK\).
Значит, \(\angle FSK = \angle SKM = 38^\circ\).
Теперь рассмотрим треугольник \(FOS\).
Угол \(\angle FOS\) - это один из углов, образованных диагоналями.
В треугольнике \(FOS\):
\(\angle OFS = \angle KFM\) (как накрест лежащие углы при \(MK \parallel FS\) и секущей \(FK\)).
\(\angle OSF = \angle MSK\).
Давайте используем теорему синусов в треугольнике \(MKS\).
Стороны \(MK = 2x\), \(KS = x\).
\(\angle SKM = 38^\circ\).
По теореме синусов:
\[ \frac{KS}{\sin(\angle KSM)} = \frac{MK}{\sin(\angle KMS)} \]
\[ \frac{x}{\sin(\angle KSM)} = \frac{2x}{\sin(\angle KMS)} \]
\[ \sin(\angle KMS) = 2 \sin(\angle KSM) \]
Также \(\angle KMS + \angle KSM + \angle SKM = 180^\circ\).
\(\angle KMS + \angle KSM + 38^\circ = 180^\circ\).
\(\angle KMS + \angle KSM = 142^\circ\).
Пусть \(\angle KSM = \alpha\). Тогда \(\angle KMS = 142^\circ - \alpha\).
\[ \sin(142^\circ - \alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
\[ \sin(142^\circ)\cos(\alpha) - \cos(142^\circ)\sin(\alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
\(\sin(142^\circ) = \sin(180^\circ - 142^\circ) = \sin(38^\circ)\).
\(\cos(142^\circ) = \cos(180^\circ - 38^\circ) = -\cos(38^\circ)\).
\[ \sin(38^\circ)\cos(\alpha) - (-\cos(38^\circ))\sin(\alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
\[ \sin(38^\circ)\cos(\alpha) + \cos(38^\circ)\sin(\alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
\[ \sin(38^\circ + \alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
Это уравнение сложно решить без калькулятора.
Давайте попробуем другой подход.
В параллелограмме \(MFKS\), \(MF \parallel KS\).
Значит, \(\angle FMS = \angle KSM\) (как накрест лежащие углы при секущей \(MS\)).
Пусть \(\angle KSM = \alpha\). Тогда \(\angle FMS = \alpha\).
В треугольнике \(MOK\):
\(\angle MOK\) - это угол между диагоналями.
\(\angle OMK = \angle FMS = \alpha\).
\(\angle OKM = \angle SKM = 38^\circ\).
Тогда \(\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM) = 180^\circ - (\alpha + 38^\circ)\).
В треугольнике \(FOS\):
\(\angle FOS\) - это угол между диагоналями.
\(\angle FOS = \angle MOK\).
\(\angle OFS = \angle KFM\).
\(\angle OSF = \angle MSK = \alpha\).
Мы знаем, что \(MF : MK = 1 : 2\).
Пусть \(MF = x\), \(MK = 2x\).
В треугольнике \(MKS\):
Сторона \(KS = MF = x\).
Сторона \(MK = 2x\).
Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
Применим теорему синусов к треугольнику \(MKS\):
\[ \frac{KS}{\sin(\angle KSM)} = \frac{MK}{\sin(\angle KMS)} \]
\[ \frac{x}{\sin(\angle KSM)} = \frac{2x}{\sin(\angle KMS)} \]
\[ \sin(\angle KMS) = 2 \sin(\angle KSM) \]
Пусть \(\angle KSM = \alpha\).
Тогда \(\sin(\angle KMS) = 2 \sin(\alpha)\).
Также \(\angle KMS + \angle KSM + \angle SKM = 180^\circ\).
\(\angle KMS + \alpha + 38^\circ = 180^\circ\).
\(\angle KMS = 142^\circ - \alpha\).
Подставим это в уравнение:
\(\sin(142^\circ - \alpha) = 2 \sin(\alpha)\).
Это уравнение все еще сложно решить без калькулятора.
Давайте перепроверим условие.
"Найдите наименьший из углов, образованных диагоналями параллелограмма."
Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и одной стороной.
Например, треугольник \(MOK\).
Стороны \(MO = MS/2\), \(OK = FK/2\).
Углы: \(\angle OMK\), \(\angle OKM\), \(\angle MOK\).
\(\angle OKM = \angle SKM = 38^\circ\).
Нам нужно найти \(\angle OMK\).
\(\angle OMK = \angle FMS\).
В параллелограмме \(MFKS\), \(MF \parallel KS\).
Значит, \(\angle FMS = \angle KSM\) (как накрест лежащие углы при секущей \(MS\)).
То есть \(\angle OMK = \angle KSM\).
Пусть \(\angle KSM = \alpha\).
Тогда \(\angle OMK = \alpha\).
В треугольнике \(MOK\):
\(\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM) = 180^\circ - (\alpha + 38^\circ)\).
Теперь нам нужно найти \(\alpha\).
В треугольнике \(MKS\):
Стороны \(KS = x\), \(MK = 2x\).
Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
По теореме синусов:
\[ \frac{KS}{\sin(\angle KSM)} = \frac{MK}{\sin(\angle KMS)} \]
\[ \frac{x}{\sin(\alpha)} = \frac{2x}{\sin(\angle KMS)} \]
\[ \sin(\angle KMS) = 2 \sin(\alpha) \]
Также \(\angle KMS = 180^\circ - 38^\circ - \alpha = 142^\circ - \alpha\).
\[ \sin(142^\circ - \alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
\[ \sin(142^\circ)\cos(\alpha) - \cos(142^\circ)\sin(\alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
\[ \sin(38^\circ)\cos(\alpha) + \cos(38^\circ)\sin(\alpha) = 2 \sin(\alpha) \]
Разделим на \(\cos(\alpha)\) (предполагая \(\cos(\alpha) \neq 0\)):
\[ \sin(38^\circ) + \cos(38^\circ)\tan(\alpha) = 2 \tan(\alpha) \]
\[ \sin(38^\circ) = (2 - \cos(38^\circ))\tan(\alpha) \]
\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(38^\circ)}{2 - \cos(38^\circ)} \]
Используем значения синуса и косинуса 38 градусов (приближенные):
\(\sin(38^\circ) \approx 0.6157\)
\(\cos(38^\circ) \approx 0.7880\)
\[ \tan(\alpha) \approx \frac{0.6157}{2 - 0.7880} = \frac{0.6157}{1.2120} \approx 0.5079 \]
\[ \alpha = \arctan(0.5079) \approx 27^\circ \]
Теперь найдем \(\angle MOK\):
\(\angle MOK = 180^\circ - (\alpha + 38^\circ) = 180^\circ - (27^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
Это один из углов, образованных диагоналями. Другой угол будет смежным с ним:
\(180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
Наименьший из углов равен \(65^\circ\).
Проверим, что \(\alpha\) не может быть больше \(90^\circ\).
Если \(\alpha = 27^\circ\), то \(\angle KMS = 142^\circ - 27^\circ = 115^\circ\).
\(\sin(115^\circ) = \sin(180^\circ - 115^\circ) = \sin(65^\circ) \approx 0.9063\).
\(2 \sin(27^\circ) \approx 2 \times 0.4540 = 0.9080\).
Значения достаточно близки, погрешность из-за округления.
Итак, наименьший угол, образованный диагоналями, равен \(65^\circ\).
Ответ:
65
