Решение уравнения 2Cos^2x=1 на отрезке [-п, -2п]

Давайте решим это уравнение по шагам, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Уравнение: \(2\cos^2x = 1\) Отрезок: \([-\pi, -2\pi]\) Шаг 1: Упростим уравнение. Разделим обе части уравнения на 2: \[\cos^2x = \frac{1}{2}\] Шаг 2: Извлечем квадратный корень из обеих частей. \[\cos x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}\] \[\cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\] \[\cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\] Шаг 3: Найдем общие решения для \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Случай 1: \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Общее решение: \[x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] Случай 2: \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) Общее решение: \[x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] Можно объединить эти решения в одно: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, \quad n \in \mathbb{Z}\] Или, что то же самое: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Или, еще более компактно: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, \quad n \in \mathbb{Z}\] Давайте проверим: Если \(n=0\), \(x = \frac{\pi}{4}\) (\(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)) Если \(n=1\), \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}\) (\(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)) Если \(n=2\), \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\) (\(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)) Если \(n=3\), \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{4}\) (\(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)) Это работает. Шаг 4: Отберем корни, принадлежащие отрезку \([-\pi, -2\pi]\). Внимание! Отрезок \([-\pi, -2\pi]\) записан в необычном порядке. Обычно меньшее число стоит слева. Предположим, что имелся в виду отрезок \([-2\pi, -\pi]\). Если это не так, пожалуйста, уточните. Будем решать для \([-2\pi, -\pi]\). Нам нужно найти такие \(n\), при которых \(-\frac{2\pi}{1} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n \le -\frac{\pi}{1}\). Разделим все части неравенства на \(\pi\): \[-2 \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2} n \le -1\] Вычтем \(\frac{1}{4}\) из всех частей: \[-2 - \frac{1}{4} \le \frac{1}{2} n \le -1 - \frac{1}{4}\] \[-\frac{8}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{1}{2} n \le -\frac{4}{4} - \frac{1}{4}\] \[-\frac{9}{4} \le \frac{1}{2} n \le -\frac{5}{4}\] Умножим все части на 2: \[-\frac{9}{4} \cdot 2 \le n \le -\frac{5}{4} \cdot 2\] \[-\frac{9}{2} \le n \le -\frac{5}{2}\] \[-4.5 \le n \le -2.5\] Поскольку \(n\) должно быть целым числом, то \(n\) может быть \(-4\) или \(-3\). Теперь подставим эти значения \(n\) в формулу \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n\). Если \(n = -4\): \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} (-4)\] \[x = \frac{\pi}{4} - 2\pi\] \[x = \frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4}\] \[x = -\frac{7\pi}{4}\] Проверим, принадлежит ли \(-\frac{7\pi}{4}\) отрезку \([-2\pi, -\pi]\): \(-2\pi = -\frac{8\pi}{4}\) \(-\pi = -\frac{4\pi}{4}\) Так как \(-\frac{8\pi}{4} \le -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{4\pi}{4}\), то \(-\frac{7\pi}{4}\) принадлежит отрезку. Если \(n = -3\): \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} (-3)\] \[x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2}\] \[x = \frac{\pi}{4} - \frac{6\pi}{4}\] \[x = -\frac{5\pi}{4}\] Проверим, принадлежит ли \(-\frac{5\pi}{4}\) отрезку \([-2\pi, -\pi]\): Так как \(-\frac{8\pi}{4} \le -\frac{5\pi}{4} \le -\frac{4\pi}{4}\), то \(-\frac{5\pi}{4}\) принадлежит отрезку. Ответ: Корни уравнения на отрезке \([-2\pi, -\pi]\) (предполагая, что это был правильный отрезок) следующие: \[x = -\frac{7\pi}{4}\] \[x = -\frac{5\pi}{4}\] Если же отрезок действительно \([-\pi, -2\pi]\) (то есть от большего к меньшему), то это означает, что нет ни одного числа, которое было бы одновременно больше или равно \(-\pi\) и меньше или равно \(-\frac{2\pi}{1}\) (что равно \(-\pi\)). В таком случае, на этом отрезке нет решений. Но в математике обычно отрезки записываются от меньшего к большему.