Решение уравнений: cos(x) = √2/2 и 2cos(x) - √3 = 0

Вариант I 1) Решим уравнение: \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это простейшее тригонометрическое уравнение. Используем общую формулу для косинуса: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \), получаем: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \). 2) Решим уравнение: \[ 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \] Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть: \[ 2 \cos x = \sqrt{3} \] Разделим обе части на 2: \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Находим корни: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \), получаем: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \). 3) Решим уравнение: \[ \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 \] Перенесем 1 в правую часть: \[ \sqrt{2} \sin x = -1 \] Разделим на \( \sqrt{2} \): \[ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Используем общую формулу для синуса: \[ x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} \), получаем: \[ x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Или в другом виде: \[ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). 4) Решим уравнение: \[ \text{tg} x + \sqrt{3} = 0 \] Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть: \[ \text{tg} x = -\sqrt{3} \] Используем формулу для тангенса: \[ x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \), получаем: \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).