Решение тригонометрических уравнений: sin x = 1/2 и √2 cos x - 1 = 0

Решение тригонометрических уравнений: 1) \( \sin x = \frac{1}{2} \) По общей формуле для синуса: \[ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \), получаем: \[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) 2) \( \sqrt{2} \cos x - 1 = 0 \) Перенесем единицу и разделим на корень: \[ \sqrt{2} \cos x = 1 \] \[ \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] По формуле для косинуса: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) 3) \( 2 \sin x + \sqrt{3} = 0 \) Перенесем корень и разделим на 2: \[ 2 \sin x = -\sqrt{3} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Используем общую формулу: \[ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \): \[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Или в другом виде: \[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) 4) \( \text{tg} x - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0 \) Перенесем дробь: \[ \text{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). По формуле для тангенса: \[ x = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)