Решение уравнений: sin x = 1/2, √2 cos x - 1 = 0

Вариант II 1) Решим уравнение: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Используем общую формулу для синуса: \[ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \), получаем: \[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) 2) Решим уравнение: \[ \sqrt{2} \cos x - 1 = 0 \] Перенесем единицу в правую часть: \[ \sqrt{2} \cos x = 1 \] Разделим обе части на \( \sqrt{2} \): \[ \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Используем общую формулу для косинуса: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \), получаем: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) 3) Решим уравнение: \[ 2 \sin x + \sqrt{3} = 0 \] Перенесем корень в правую часть: \[ 2 \sin x = -\sqrt{3} \] Разделим на 2: \[ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Используем общую формулу: \[ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \), получаем: \[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n \] Что можно записать как: \[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) 4) Решим уравнение: \[ \text{tg} x - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0 \] Перенесем дробь в правую часть: \[ \text{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Используем формулу для тангенса: \[ x = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} \), получаем: \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)