Решение задачи 6.1: Разложение функции y=x+3 в ряд Фурье по косинусам

Ниже представлено подробное решение задач 6.1 и 6.2, оформленное в соответствии с вашими требованиями для переписывания в тетрадь. Задача 6.1. Разложить функцию \( y = x + 3 \), \( -3 < x < 0 \) в ряд Фурье по косинусам. Решение: Для разложения функции в ряд по косинусам на интервале \( (-l, 0) \), необходимо доопределить её на интервал \( (0, l) \) четным образом. В данном случае \( l = 3 \). Ряд Фурье по косинусам имеет вид: \[ S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n \pi x}{l} \] Так как функция доопределяется четным образом, коэффициенты \( b_n = 0 \). 1. Найдем коэффициент \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) dx \] Поскольку мы доопределили функцию четно, интеграл по \( (0, 3) \) от доопределенной функции равен интегралу по \( (-3, 0) \) от исходной: \[ a_0 = \frac{2}{3} \int_{-3}^{0} (x + 3) dx = \frac{2}{3} \left( \frac{x^2}{2} + 3x \right) \bigg|_{-3}^{0} = \frac{2}{3} \left( 0 - \left( \frac{9}{2} - 9 \right) \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 3 \] 2. Найдем коэффициенты \( a_n \): \[ a_n = \frac{2}{3} \int_{-3}^{0} (x + 3) \cos \frac{n \pi x}{3} dx \] Используем интегрирование по частям: \( u = x + 3 \), \( du = dx \); \( dv = \cos \frac{n \pi x}{3} dx \), \( v = \frac{3}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{3} \). \[ a_n = \frac{2}{3} \left( (x + 3) \frac{3}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{3} \bigg|_{-3}^{0} - \int_{-3}^{0} \frac{3}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{3} dx \right) \] Первое слагаемое равно 0, так как \( \sin(0) = 0 \) и \( \sin(-n\pi) = 0 \). \[ a_n = -\frac{2}{n \pi} \int_{-3}^{0} \sin \frac{n \pi x}{3} dx = \frac{2}{n \pi} \cdot \frac{3}{n \pi} \cos \frac{n \pi x}{3} \bigg|_{-3}^{0} = \frac{6}{n^2 \pi^2} (1 - \cos(-n\pi)) \] Так как \( \cos(-n\pi) = (-1)^n \): \[ a_n = \frac{6(1 - (-1)^n)}{n^2 \pi^2} \] Если \( n \) четное, \( a_n = 0 \). Если \( n \) нечетное (\( n = 2k-1 \)), \( a_n = \frac{12}{(2k-1)^2 \pi^2} \). Итоговый ряд: \[ S(x) = \frac{3}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{12}{(2k-1)^2 \pi^2} \cos \frac{(2k-1) \pi x}{3} \] График суммы ряда будет представлять собой "пилообразную" четную функцию с периодом \( T = 6 \). --- Задача 6.2. Разложить функцию \( y = \begin{cases} 1, & -\pi < x < 0 \\ 1 - x, & 0 \le x < \pi \end{cases} \) в ряд Фурье. Решение: Период \( T = 2\pi \), полупериод \( l = \pi \). Ряд имеет вид: \[ S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] 1. Коэффициент \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1 dx + \int_{0}^{\pi} (1 - x) dx \right) = \frac{1}{\pi} \left( \pi + (x - \frac{x^2}{2}) \bigg|_{0}^{\pi} \right) = \frac{1}{\pi} (\pi + \pi - \frac{\pi^2}{2}) = 2 - \frac{\pi}{2} \] 2. Коэффициенты \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \cos nx dx + \int_{0}^{\pi} (1 - x) \cos nx dx \right) \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin nx}{n} \bigg|_{-\pi}^{0} + \left( (1-x)\frac{\sin nx}{n} \bigg|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{\sin nx}{n} dx \right) \right) \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( 0 + 0 - \frac{\cos nx}{n^2} \bigg|_{0}^{\pi} \right) = \frac{1 - (-1)^n}{\pi n^2} \] 3. Коэффициенты \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \sin nx dx + \int_{0}^{\pi} (1 - x) \sin nx dx \right) \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\cos nx}{n} \bigg|_{-\pi}^{0} + \left( -(1-x)\frac{\cos nx}{n} \bigg|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\cos nx}{n} dx \right) \right) \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{(-1)^n - 1}{n} + \frac{(1-\pi)(-1)^n - 1}{n} - 0 \right) = \frac{2(-1)^n - 2 - \pi(-1)^n}{\pi n} \] Итоговый ряд: \[ S(x) = \frac{4-\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 - (-1)^n}{\pi n^2} \cos nx + \frac{(-1)^n(2-\pi) - 2}{\pi n} \sin nx \right) \] В точках разрыва \( x = 0 \) и \( x = \pm \pi \) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов слева и справа. Например, \( S(0) = \frac{1+1}{2} = 1 \). На графике это будет периодическое повторение данных участков.