Решение задачи: Построение графика суммы ряда Фурье

Для построения графика суммы ряда Фурье \( S(x) \) для задачи 6.2, нужно воспользоваться теоремой Дирихле. Сумма ряда \( S(x) \) будет периодическим продолжением функции с периодом \( T = 2\pi \). Вот пошаговая инструкция для построения в тетради: 1. Исходный график на основном периоде \( (-\pi, \pi] \): Нарисуйте оси координат. Отметьте на оси \( Ox \) точки \( -\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi \). На интервале \( (-\pi, 0) \) нарисуйте горизонтальную линию на уровне \( y = 1 \). На интервале \( [0, \pi) \) нарисуйте отрезок прямой \( y = 1 - x \). В точке \( x = 0 \) значение \( y = 1 \), в точке \( x = \pi \) значение стремится к \( 1 - \pi \approx -2.14 \). 2. Определение значений в точках разрыва (по Дирихле): В этих точках сумма ряда \( S(x) \) равна среднему арифметическому пределов слева и справа: В точке \( x = 0 \): Слева \( 1 \), справа \( 1 \). Значит, \( S(0) = (1+1)/2 = 1 \) (точка закрашена). В точке \( x = \pi \) (и \( x = -\pi \)): Предел слева (в конце отрезка \( 1-x \)) равен \( 1-\pi \). Предел справа (начало следующего периода, где функция равна \( 1 \)) равен \( 1 \). \[ S(\pi) = S(-\pi) = \frac{(1-\pi) + 1}{2} = \frac{2-\pi}{2} = 1 - \frac{\pi}{2} \approx -0.57 \] Поставьте жирные точки на этих уровнях при \( x = \pi \) и \( x = -\pi \). 3. Периодическое продолжение: Скопируйте полученный рисунок (горизонтальная полка и наклонная линия) на соседние интервалы: \( (\pi, 3\pi) \), \( (-3\pi, -\pi) \) и так далее. Как это должно выглядеть в тетради (описание рисунка): \[ \begin{array}{l} \text{1. От } -\pi \text{ до } 0 \text{ идет горизонтальная линия на высоте } 1. \\ \text{2. От } 0 \text{ до } \pi \text{ идет линия вниз под углом 45 градусов до значения } 1-\pi. \\ \text{3. В точке } x = \pi \text{ происходит скачок вверх от } 1-\pi \text{ обратно к } 1 \text{ (начало нового периода).} \\ \text{4. Сама сумма ряда в точке скачка } x = \pi \text{ отмечается отдельной точкой посередине скачка.} \end{array} \] Важное замечание: В отличие от задачи 6.1, здесь график будет иметь разрывы (скачки) в точках \( \pm \pi, \pm 3\pi \dots \), так как значения функции в начале и в конце периода не совпадают (\( 1 \neq 1-\pi \)). Не забудьте отметить точки суммы ряда в местах разрывов, как это показано на последнем образце в вашем задании.