Решение задач билета №1: Минор и предел функции

Вот решения всех задач из билета №1. Билет №1 1. Определение минора к элементу матрицы. Определение алгебраического дополнения. Определение минора: Минором \(M_{ij}\) элемента \(a_{ij}\) квадратной матрицы \(A\) называется определитель матрицы, полученной из \(A\) вычеркиванием \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца. Определение алгебраического дополнения: Алгебраическим дополнением \(A_{ij}\) элемента \(a_{ij}\) квадратной матрицы \(A\) называется минор \(M_{ij}\), взятый со знаком \( (-1)^{i+j} \). То есть, \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). 2. Определение предела функции в точке. Основные свойства пределов. Определение предела функции в точке: Число \(L\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого сколь угодно малого положительного числа \( \varepsilon \) существует такое положительное число \( \delta \), что для всех \(x\), удовлетворяющих условию \( 0 < |x - x_0| < \delta \), выполняется неравенство \( |f(x) - L| < \varepsilon \). Это записывается как \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \). Основные свойства пределов: Пусть существуют пределы \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L_1 \) и \( \lim_{x \to x_0} g(x) = L_2 \). Тогда: 1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: \( \lim_{x \to x_0} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x) = L_1 \pm L_2 \) 2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций: \( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = L_1 \cdot L_2 \) 3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: \( \lim_{x \to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = c \cdot L_1 \), где \(c\) - константа. 4. Предел частного функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел знаменателя не равен нулю: \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \), при условии, что \( L_2 \neq 0 \). 5. Предел постоянной функции равен самой этой постоянной: \( \lim_{x \to x_0} c = c \), где \(c\) - константа. 3. Найдите сумму и разность матриц C и D. Даны матрицы: \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \] \[ D = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & -4 & 2 & -9 \\ 3 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Сумма матриц \(C + D\): Чтобы найти сумму матриц, нужно сложить соответствующие элементы. \[ C + D = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) & 3+0 & 4+(-4) \\ 4+3 & 5+0 & 6+(-4) & 7+(-2) \\ 2+0 & 4+(-4) & 6+2 & 8+(-9) \\ 1+3 & 3+(-4) & 5+0 & 7+1 \end{pmatrix} \] \[ C + D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 & 0 \\ 7 & 5 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 8 & -1 \\ 4 & -1 & 5 & 8 \end{pmatrix} \] Разность матриц \(C - D\): Чтобы найти разность матриц, нужно вычесть соответствующие элементы. \[ C - D = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) & 3-0 & 4-(-4) \\ 4-3 & 5-0 & 6-(-4) & 7-(-2) \\ 2-0 & 4-(-4) & 6-2 & 8-(-9) \\ 1-3 & 3-(-4) & 5-0 & 7-1 \end{pmatrix} \] \[ C - D = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 & 8 \\ 1 & 5 & 10 & 9 \\ 2 & 8 & 4 & 17 \\ -2 & 7 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]