Решение уравнения x³ - 2x² - x + 2 = 0 и неравенства (x-6)² < √10(x-6)

Ниже представлено решение задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задание 20. Решите уравнение: \[ x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ (x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0 \] Вынесем общий множитель \( x^2 \) из первой скобки: \[ x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \] Теперь вынесем общую скобку \( (x - 2) \): \[ (x - 2)(x^2 - 1) = 0 \] Разложим разность квадратов: \[ (x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2 \) 2) \( x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1 \) 3) \( x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1 \) Ответ: -1; 1; 2. Решите неравенство: \[ (x - 6)^2 < \sqrt{10}(x - 6) \] Решение: Перенесем всё в левую часть: \[ (x - 6)^2 - \sqrt{10}(x - 6) < 0 \] Вынесем общий множитель \( (x - 6) \): \[ (x - 6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0 \] Корни левой части: \( x = 6 \) и \( x = 6 + \sqrt{10} \). Методом интервалов получаем, что выражение отрицательно между корнями. Ответ: \( (6; 6 + \sqrt{10}) \). Решите неравенство: \[ \frac{-15}{(x + 1)^2 - 3} \geq 0 \] Решение: Так как числитель равен -15 (отрицательное число), то для того, чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть строго меньше нуля: \[ (x + 1)^2 - 3 < 0 \] \[ (x + 1)^2 < 3 \] \[ |x + 1| < \sqrt{3} \] \[ -\sqrt{3} < x + 1 < \sqrt{3} \] \[ -1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3} \] Ответ: \( (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3}) \). Задание 19. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) \( x^2 + 33 < 0 \). Так как \( x^2 \geq 0 \), то \( x^2 + 33 \) всегда больше или равно 33. Оно никогда не может быть меньше 0. Ответ: 1. Задание 19 (номер 5). Укажите неравенство, которое не имеет решений. Проверим дискриминант для \( x^2 - 3x + 11 \): \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола всегда выше оси X. Значит, \( x^2 - 3x + 11 < 0 \) не имеет решений. Ответ: 3. Задание 19 (номер 6). Укажите неравенство, которое не имеет решений. Аналогично, проверим \( x^2 - 8x + 83 \): \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 83 = 64 - 332 = -268 \] Парабола всегда выше оси X. Значит, \( x^2 - 8x + 83 < 0 \) не имеет решений. Ответ: 3. Задание 17. Укажите неравенство, решением которого является любое число. 3 (номер 3). Проверим \( x^2 + 9x + 79 > 0 \): \[ D = 9^2 - 4 \cdot 79 = 81 - 316 = -235 \] Так как \( D < 0 \) и ветви вверх, выражение всегда положительно. Ответ: 2. Задание 17 (номер 4). Укажите неравенство, решением которого является любое число. Выражение \( x^2 + 15 \) всегда больше или равно 15, значит оно всегда больше 0. Ответ: 1. Задание 17 (номер 5). Укажите неравенство, решением которого является любое число. Выражение \( x^2 + 70 \) всегда больше или равно 70, значит оно всегда больше 0. Ответ: 2. Задание 15. Укажите неравенство по рисунку. Номер 5: Закрашены области \( x \leq 0 \) и \( x \geq 4 \). Это корни уравнения \( x(x - 4) = 0 \), то есть \( x^2 - 4x = 0 \). Так как закрашены края, это неравенство \( \geq 0 \). Ответ: 3. Номер 6: Закрашена область между 0 и 7. Это корни \( x(x - 7) = 0 \), то есть \( x^2 - 7x = 0 \). Так как закрашена середина, это неравенство \( < 0 \). Ответ: 1. Номер 8: Закрашены края от -2 и 2. Это корни \( x^2 - 4 = 0 \). Так как закрашены края, это неравенство \( > 0 \). Ответ: 3.